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« Le equazioni differenziali (4) (6) (7) dimostrano tosto dover essere : 



, u z ) t = 0 



ed : 



(%i , %) 4 = 77 Mi 4 + 4m 0 Mi 3 % + 64 ^x 2 u 2 2 ii 2 z -f- 4 u 2 4 ) . 



« Ciò posto si possono ottenere i valori dei coefficienti delle varie fun- 

 zioni omogenee di grado pari che compongono lo sviluppo in serie di S(u), 

 nel modo seguente. Sia n pari ed : 



la prima delle equazioni differenziali (10) conduce evidentemente a questa 

 serie di relazioni : 



dC/Q . _ dC() . dCo . 1 dGo 



wCl = 5^-+2-^-+, 2 ^- + / 5 



dA.i d<7 2 (hi dli 



(»-l)C, = 5 — + 2 — + . 2 ^r- + 



dG n -i 

 dki 



+ 2 





1 (iC n _i 

 ■'■° 2 da, 







d C n 



+ 2 



dC n 





+ 4 



dC n 



dk x 



da 2 



1 ^ 2 rfcTi 



dly 



— 5 

 0 = 5 



per le quali quando sia noto C 0 , si possono derivare colle operazioni supe- 

 riori i valori di tutti gli altri coefficienti. 



« Infine la equazione differenziale (7) trasformata dà una forinola di incur- 

 sione per determinare i valori del coefficiente C 0 . Suppongasi infatti sieno : 



(ui , u 2 ) n - 2 = D 0 ul~ 2 -4- (n — 2) D! u[ 3 u 2 -j- + D„_ 2 %; 



{ih , u 2 ) n -, = E 0 <- 4 + (n — 4) E t u n ~% + + E„_4 <" 4 



e pongasi : 



la formola di ricursione sarà: 



n (n — 1) C 0 -f 2 (»— 2) [(or 0 — 3A 3 ) D 0 +A 4 Di] -f % 0 E 0 = 4# (D 0 ) . 



« Per mezzo di questa e delle relazioni superiori, essendo nota (u x , u 2 ) 4 

 si dedurranno (u x , ?^ 2 ) 6 , (u x , ^<2)8 e così di seguito » . 



