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k Le equazioni differenziali del primo ordine sono : 



da r Ul du 2 ' V r ^ 2 \ ^ 1 ^i ^ 2 ^2 / 



e siccome S è eguale all' unità più la somma di forme binarie di ordine pari, 

 dal quarto ordine all' infinito, per ciascuna di quelle forme sussisteranno le 

 due equazioni superiori; la" prima delle quali è notoriamente una delle equa- 

 zioni caratteristiche di un covariante della quintica. 

 « Supposto s numero pari, sia : 



<P (ui , u 2 ) = (spo , <Pi , 9>2 • • • <Ps) (ui ) u 2 ) s 

 una fra quelle forme binarie. Le equazioni superiori conducono tosto alle due 

 seguenti : 



.... 4- d<Pi < -\ v- dtfi Ss — 2i 



per la prima delle quali, quando sia noto il coefficiente <p 0 , si possono dedurre 

 gli altri per semplice derivazione. 



« Ciò posto, delle altre tre equazioni differenziali del secondo ordine, 

 allo scopo di determinare i valori dei coefficienti delle successive funzioni 

 binarie, basta considerare 1' ultima. 



« Indicando con P il simbolo di operazione : 



P = Zr K 4 + A i a r S + A * a -r" + A 3 * + 1 A *) 



quella equazione prende la forma : 



d$ d 2 S 



4P (S) = (n Q u x 2 -f- 2w 0 ui u 2 + 1 0 u 2 2 ) S + 2 (tf 0 -f- d m 2 ) -f- Mi- 

 nella quale le w 0 , m 0 , 1 0 , ff 0 , hanno i valori indicati nella precedente co- 

 municazione. 



« Consideriamo le due forme binarie precedenti alla y {u x , u 2 ) degli ordini 

 s — 2 , s — 4 ; e sieno : 



tfj = (xp 0 , %pi... xfj s . 2 ) (ui , u 2 ) s - 2 , A = (JL q -j Xi . . . A s _ 4 ) (ui , ^ 2 ) s - 4 



applicando ad esse la equazione differenziale superiore, si ottiene fra i coef- 

 ficienti (p 0 ,ipo, A 0 la forinola ricorrente che segue : 



(2) s (s — 1) (f 0 = 4P (ipo) — 2 (s — 2) C7 0 ip 0 — n 0 1 0 



per mezzo della quale, quando sieno noti i coefficienti l 0 , ip 0 si deduce il 

 valore di (p 0 . 



« Ora siccome per s = 6 si ha X=Q , e: 



V = — -Q~7 ( n o u ^ + 4w 0 + 6 Z 0 w-i 2 ^2 2 + 4^ ui u 2 3 -f- Z 2 ?* 2 4 ) 



la formola ricorrente superiore vale per la determinazione del valore del primo 

 coefficiente di ciascuna forma binaria da quella del sesto ordine in avanti. 



