﻿— 326 — 



dove y, y' indicano due punti corrispondenti qualunque. Lo spazio fondamen- 

 tale di punti S r sarà costituito da tutti i punti x tali che, per un certo 

 valore di p:q 



(2) 2 {pan + qb ik ) Xi = 0 , 



i 



e quello coniugato di piani 2 r da tutti i piani £ tali che 



(3) 2(fi^'+j>|?«)à = 0 



i 



(dove ce m , indicano i subdeterminanti complementari di am , ba nei deter- 

 minanti | Oah | , | | , divisi rispettivamente per questi determinanti). Il cen- 

 tro di prospettiva di due S r+1 corrispondenti passanti per S r sarà il centro 

 di prospettiva delle punteggiate (SO corrispondenti che congiungono un deter- 

 minato punto x di S r a due punti corrispondenti qualunque y, y' degli S r +i . 

 Ora si ha dalle (1) e (2) : 



2a ik {iji -\- tyxi) = 2b ih (y'i — Xqxi) , 

 che, confrontata colle (1), prova che nelle punteggiate corrispondenti conside- 

 rate xy e xy' le coppie di punti corrispondenti si hanno facendo variare X 

 nelle espressioni y L -4- Xpxi , y'i — Xqxu Moltiplicandole rispettivamente per 

 q e p, e sommandole avremo le espressioni 



(4) ti = fPA+Pl/'i, 



che saranno adunque le coordinate di un punto t per cui passa, qualunque 

 sia X, la congiungente quella coppia di punti corrispondenti; sicché t è il 

 centro di prospettiva cercato. 



« D' altronde moltiplicando le (3) (dopo trasportato il termine in p nel 

 2° membro) e le (1), e poi sommando rispetto a k avremo : 



q 2yi £j 2 a i1t a» =— p 2 y'i £, 2 b ik § m , 



ossia U n n n 



i 



Ora questa in causa delle (4) diventa : 



2h ti = 0, 



ed esprime che il centro di prospettiva t sta sempre su ogni piano t dello 

 spazio fondamentale 2 r , cioè sul sostegno S >ir _ r _i dello spazio stesso. 



« Per dimostrare poi che questo S„_ r _! è tutto costituito da quei punti t 

 e completare in pari tempo la dimostrazione del teorema, imaginiamo segati 

 tutti gli S r+1 passanti per S r mediante uno spazio E^-i il quale non in- 

 contri S r e supponiamo che pel punto y preso su ciascuno di quegli S r+ i si 

 scelga precisamente il punto d' intersezione di questo con E„^ r _i : basterà pro- 

 vare che allora la corrispondenza tra i punti y ed i punti t è un' omografia 

 non degenere. Le (4) sono equazioni che, tenendo anche conto delle (1), espri- 

 mono le U linearmente per mezzo delle ijr. vi è dunque solo da mostrare che 

 da esse (e dalle equazioni di E M _ r _0 si potranno pure ricavare le y { come 



