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tangenti di C, e i punti, di contatto di queste n{r — 1) tangenti, progettati 

 dalla retta /, danno altrettanti piani N del fascio t, corrispondenti a quel 

 piano M arbitrariamente scelto. "Viceversa un piano N corrisponde, in virtù 

 della costruzione suddetta, ad n(r — l) piani M. Nella corrispondenza fra i 

 piani Mei piani N del fascio t, esisteranno adunque 2n(r — 1) coincidenze, 

 così distribuite : 



1° Il piano 77 conta egli stesso per n piani uniti della corrispondenza. 



2° Gli m piani del fascio, che vanno ai punti di contatto dei piani 

 osculatori passanti per E, sono piani uniti. 



3° I 6 piani del fascio che vanno ai punti di contatto delle genera- 

 trici stazionarie sono medesimamente piani uniti. 



4° Finalmente gli Z piani del fascio, ciascuno dei quali sega la curva C 

 in una coppia di punti, nei quali le due tangenti di C dànno su 77 una 

 coppia di tracce allineate con E, sono piani uniti; anzi ciascuno di essi conta 

 per due piani uniti, come facilmente si vede. 

 « Avremo quindi : 



2n {r— lf=n-\-m-{-e-\-2s 

 g = n (r+l) — } (n + m -f 6) 



c. v. d. 



« Se ora imaginiamo tracciata sul piano 77 una conica arbitraria £, non 

 avente rapporti speciali con la curva C, e prendiamo il polo P di ogni retta g 

 rispetto a questa conica, verremo a trasformare la corrispondenza fra i punti 0 

 e le rette g, in quella fra i punti 0 e i poli P delle rette g. 



« Per questa nuova corrispondenza avremo : 



af = h, a = \r{r— 1), /? = »(/•— 1) — i (« + w + (?) 

 e cioè ad ogni punto 0 corrisponderanno h punti P, ad un punto P \r(r — 1) 

 punti 0, e sopra ima retta arbitraria t esisteranno n{r— 1) — \{n-\-m-\-6) 

 coppie di punti (0, P) corrispondenti. Vi saranno pertanto sul piano 77, «-{-«'+ /S 

 punti 0, ciascuno dei quali coincide con uno dei corrispondenti punti P, ed 

 in ognuna di tali coincidenze avremo un punto 0 che è il polo della corri- 

 spondente retta g, rispetto alla conica £. Supponendo infine che il piano 77 

 si allontani in infinito, e che la conica S2 divenga il cerchio immaginario co- 

 mune a tutte le sfere dello spazio, allora le coincidenze fra i punti 0 e P 

 corrispondenti avranno evidentemente luogo nei punti all' infinito delle nor- 

 mali doppie di C. Trovasi pertanto che : 



Una curva gobba dell' ordine n, della classe m e del rango r, 

 con li punti doppi apparenti e 6 generatrici stazionarie, 

 possiede in generale : 



T = A + l r{r — l) + n{r—l)—\(n -f m + 6). 

 normali doppie ( 1 ). 



(!) In questo numero non sono comprese le „ 1 normali doppie situate gel piano 

 JIoo , le quali sfuggono all' analisi precedente. 



