﻿— 471 — 



essa appartiene, accennando ad un nuovo modo di costruire la superficie di 

 secondo ordine passante per nove punti dati. 



« Nella seconda nota mi occuperò di superficie 0 particolari, le quali 

 sono dotate di proprietà che mi sembrano avere qualche interesse. Una di 

 tali proprietà si è che queste superficie con una opportuna trasformazione omo- 

 grafica possono divenire ciclldi generalmente differenti da quelle fin qui 

 conosciute. 



« 1. Nello spazio assumiamo una quadrica fissa F ; in essa prendiamo 

 due punti fìssi M , N , e indichiamo con Mj , Ni i punti dove la reciproca 

 della retta MN, rispetto a r, incontra questa superficie. 



« Dato un punto A , le rette MA , NA segano r in due punti P , Q e 

 le rette MQ , NP si tagliano in un punto A'. Come da A si deduce A', così, 

 nello stesso modo, da A' si deduce A. Il quadrangolo piano MNPQ essendo 

 inscritto nella superficie r , segue che : 



a) • I due punti A , A' sono reciproci rispetto a r e giacciono nel piano 

 polare del punto comune alle MN, PQ. La retta AA' si appoggia dunque 

 ad entrambe le rette MN , M L Ni , percui dato A , la trasversale per esso con- 

 dotta a quelle rette incontra il piano polare di A nel punto A'. 



è) I punti comuni alla retta AA' ed alle MN, PQ dividono armoni- 

 camente il segmento A A' ed i punti comuni ad MN ed alle rette PQ , AA' 

 dividono armonicamente il segmento MN. 



c) La retta PQ individua in modo unico la coppia di punti A, A' 

 e viceversa questa coppia determina in modo unico quella retta. 



« Per brevità dirò che A , A' sono una coppia di punti coniugati e che 

 tutte le coppie analoghe, in numero oo 3 , formano una involuzione [Xj ( 1 ). Da 

 quanto s' è detto segue che ,ogni trasversale alle rette MN , Mi Ni contiene 

 infinite delle coppie di cui si tratta. D' ora in poi chiamerò con C (r) il com- 

 plesso lineare speciale formato dalle rette r appoggiate alla MN. Si ha pertanto: 



«Le coppie di punti coniugati dell' involuzione [I] e 

 le rette del complesso C(r) si corrispondono univocamente 

 fra di loro. 



«2. Una retta arbitraria t si riguardi come luogo di un punto A; il 

 luogo del punto A', coniugato di A nell' involuzione [I] , si costruisce come 

 segue. Le coniche sezioni della quadrica r coi piani passanti per t e per i 

 punti M , N , si proiettino da questi punti medesimi. I due coni proiettanti, 

 oltre la retta MN , hanno in comune ima cubica gobba che è la cmva richiesta. 

 Essa contiene i vertici del tetraedro MNMiNi e passa per i due punti nei 

 quali t sega la quadrica r. 



« Kisulta da ciò che se un punto A si muove in un piano arbitrario n , 

 il suo coniugato A' descrive una superficie ri del terzo ordine. Si vede qui, 



(!) Evidentemente la quadrica r è il luogo di un punto che coincide col proprio con 

 iugato, cioè r è la superficie unita dell' involuzione [I], 



