﻿di punti coniugati nell' involuzione [I] situate nel piano x. In particolare, 

 se quelle rette giacciono in un piano r , le coppie di punti cui esse danno 

 origine formano una conica la quale è anche il luogo delle coppie di punti 

 corrispondenti alle rette del complesso C(s) giacenti nel piano x e passanti 

 per il polo del piano t rispetto alla quadrica r. Le stesse deduzioni valgano 

 per le rette del complesso C(s) passanti per un dato punto della retta Mj Ni . 



« Risulta da tutto ciò che ad un punto arbitrario, riguar- 

 dato come centro di due fasci, l'uno di rette del com- 

 plesso C(r) e l'altro di rette del complesso C(ò-) corrispon- 

 dono due coniche le quali verranno designate coi simboli 

 k r e k s rispettivamente. 



« Fanno naturalmente eccezione i punti delle rette MN, N\ , a ciascun 

 dei quali corrispondono infinite coniche. 



« 6. Dal fin qui detto si ricava la costruzione geometrica di ogni figura 

 corrispondente, o coniugata, di sè stessa nell' involuzione [I]. Infatti, se una 

 di tali figure è data, alle coppie di punti coniugati eh' essa contiene corrispon- 

 dono rette del complesso C(r) e rette del complesso C(s) formanti due sistemi 

 determinati e reciproci rispetto alla quadrica r. Perciò, viceversa, scegliendo 

 opportunamente due sistemi cosifatti, ciascuna di quelle figure potrà venire 

 generata in doppio modo colle note costruzioni. • 



« Partendo da questo principio mostrerò ora come si possa formare 1' equa- 

 zione di una qualsivoglia superficie corrispondente di sè stessa nella trasfor- 

 mazione involutoria [Y\. 



«7. Assumiamo come fondamentale il tetraedro MNMjNj e rappresen- 

 tiamo le sue faccie MMJ, NM^i, MNM l5 MNNi rispettivamente 

 con Xi — 0 , #2 = 0, #3 = 0, x± = 0 . L' equazione poi della quadrica r 

 scriviamola nella forma: 



X\ X-z — x% x± — 0 ( 1 ) 



« Essendo r 12 , r 23 , r 31 , r 14 , r 24 , r 34 le coordinate di una retta, espresse 

 in coordinate di punti, talché: 



Tu r 3i -f- r 23 fu + r 3l r 2i = 0 , 



se questa retta appartiene al complesso C(r) , r 3i — 0 ed essa interseca la qua- 

 drica (1) in due punti P, Q aventi le seguenti coordinate 



x x =. fu (— r 12 =±= |/r 2 12 -j- 4r 23 r 14 ) , x % == r 24 (r 12 =±= j/V 2 12 -f- 4r 23 r u ) , 



# 3 = 2r 23 r 14 , # 4 = 2r 14 r 24 . 



La PQ si appoggia alla retta MN (x 3 = # 4 = 0) in un punto pel quale 



x x \Xz = r u '-ru 



ed il piano polare di tal punto, rispetto alla quadrica (1) è rappresentato dalla 



^24^1+^14^2 = 0 (2) 



