﻿Ora, se i punti P e Q si proiettano da M o da N sul piano (2) si ottiene 

 la coppia di punti A , A', coniugati nell' involuzione [I] , corrispondenti alla 

 retta PQ del complesso C(r) (n. 1). Le coordinate di A e A' si traggono dalle 



Xi : x 2 : x 3 : x 4 = r u (— r 12 =t \/r\ z + 4r 23 r 14 ) : — 

 — r 24 (— r lt =±= |/r 2 12 -f- 4r 23 r u ) : 2r 23 r 14 : 2r M r 2i 

 e si ha inversamente: 



^12 • ?"23 • ?"31 • ^14 • ?"24 == {X\ %% ~\~ X3 Xi) IX2 X3 '.SC\Xz'- X\ Xi'.XzXi , 



insieme alla r 34 = 0 . 



« 8. Facciamo ora sussistere colla r u = 0 , che rappresenta il com- 

 plesso C(r) , 1' equazione : 



0 (r ì2 , r 23 , r 31 , r u , r 24 , r 34 ) • • 0 (1) 



di un complesso qualsivoglia, con che si viene a determinare un sistema oo 2 

 di rette appoggiate alla retta MN. Le coppie di punti coniugati nell' involu- 

 zione [I] corrispondenti alle rette di tale sistema giacciono in una super- 

 ficie 0 , 1' equazione della quale è quella in cui si trasforma la (1) ponen- 

 dovi r 34 = 0 e sostituendo per le r 12 , r 23 , r 31 , r 14 , r 24 i valori proporzionali 

 trovati al n. precedente. Da ciò segue che se il complesso (1) è del 

 grado a la superficie 0 è in generale dell'ordine 2n ( 1 ). 



« Bappresentando con 



0 (si2 , s 23 , s 31 , Su , s 2i , s 34 ) = 0 (2) 

 il complesso polare reciproco del complesso (1), rispetto alla quadrica r, la 

 superficie 0 potrà anche venire generata mediante quelle rette del com- 

 plesso (2) che sono appoggiate alla retta M^ (n. 6). 



« I coni del oomplesso (1) coi vertici nei punti M ed N danno origine 

 a punti «-pli conici della superficie, in M ed N. Similmente i coni del com- 

 plesso (2) , coi vertici nei punti Mj ed N\ danno origine a punti n-pli conici 

 della superficie in Mi ed N x . 



-Un piano passante per la retta MN, 0 per la retta 

 Mj N 1? taglia la superficie secondo una curva che è corri- 

 spondente di sè stessa nella trasformazione di Hirst esi- 

 stente in quel piano (n. 4). 



« Alle generatrici doppie dei coni, 0 alle tangenti doppie delle curve del 

 complesso (1) (0 del complesso (2)) appoggiate alla retta MN (od alla 

 retta M L Ni ) , corrispondono coppie di punti coniugati, nell' involuzione [T\ , 

 il cui luogo è la curva doppia della superficie 0. Tale curva ammette dunque 

 infinite corde appoggiate alle due rette MN, M^. 



( l ) Quest'ordine diminuisce di una unità se tutte le rette passanti per un determinato 

 punto K, della MN, appartengono al complesso (1), poiché in tal caso dalla superfìcie © 

 si stacca il piano polare di K rispetto alla quadrica T (n. 5). 



