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« Infine, la curva comune a 0 ed alla quadrica T è il luogo dei punti 

 dove rette del complesso (1) che incontrano la MN, o rette del complesso (2) 

 che incontrano la Mi Ni , sono tangenti a r. 



« 9. Se il complesso (1) del n. precedente è lineare, le rette comuni ad 

 esso ed al complesso C(r) formano una congruenza lineare di cui una diret- 

 trice è la retta MN e 1' altra direttrice è una certa retta t. In questo caso 

 la superficie 0 è del secondo ordine. Essendo i 12 , U% , ... t 3i le coordinate 

 di t la congruenza anzidetta è determinata dalle 



t-U ?'l2 -f~ tli ?*23 4~ r 31 ~|~ ^23 -j- t%\ /' 2 4 ~\~ t\% V%± = 0 , /' 3 4 = 0 



per cui 1' equazione di © è la seguente (n. 8) 



t 3i (XlWz + ^14^2^3 + t^XlXz 4 3*1 ^4 + h\-X ì X i — 0 (1) 



«È chiaro che la superficie (1) è il luogo delle coniche k r . 

 (n. 5) corrispondenti ai punti della retta t oppure è il luogo 

 delle coniche k s corrispondenti ai punti della retta f, con- 

 iugata di t rispetto alla quadrica T. 



« Le rette che da M ed N proiettano i punti comuni a T ed alla 

 retta / appartengono alla superficie. E similmente appartengono alla superficie 

 le rette che da Mx ed Ni proiettano i punti comuni a T e alla retta t' . 



« Variando t , cioè le t a , la corrispondente superficie di second' ordine 

 varia nel sistema lineare oo 4 rappresentato dalla (1). Tutte le superficie del 

 sistema sono circoscritte al tetraedro MN M : N x . 



« Due rette abbiano un punto comune P e quindi giacciano in un mede- 

 simo piano ir. In allora le due superficie (1) corrispondenti a quelle rette pas- 

 sano entrambe per la conica k T corrispondente al punto P. Esse hanno poi 

 in comune una seconda conica (luogo delle coppie di punti corrispondenti alle 

 rette del complesso C(>) situate in n) la quale non è altro che la conica k s 

 corrispondente al polo del piano jt rispetto alla quadrica r. Segue adunque che: 



a) Due superficie del sistema lineare (1) sono corri- 

 spondenti di due rette che s'incontrano se le superficie 

 stesse si toccano in due punti (necessaria mente coniugati 

 nell' involuzione [I] ) . 



b) Alle rette passanti per un punto P corrispondono 

 infinite superficie (1) aventi tutte in comune la conica k r 

 corrispondente di P; ed alle rette di un piano n corrispon- 

 dono infinite superficie (1) aventi tutte a comune la co- 

 nica k s corrispondente al polo del piano n rispetto alla 

 quadrica r. 



« Si riconosce poi facilmente che tra le superficie (1) vi sono infiniti coni 

 i vertici dei quali giacciono sulla quadrica T. Ad ogni retta tangente a r 

 corrisponde un cono col vertice nel punto di contatto. 



«10. Dati quattro punti arbitrari Ai, A 2 , A 3 , A 4 le rette che da Ai 

 Rendiconti — Vol. II. 62 



