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« La curva S è il luogo dei poli della retta MN rispetto 

 a tutte le coniche della superficie (n. 4). 



« 2*. Un piano passante per la retta MN incontri la curva S in due 

 punti infinitamente vicini tra di loro. In allora le due coniche della super- 

 ficie, corrispondenti a questi punti, giacciono in quel piano e sono infinata- 

 mente vicine l'una all'altra. Da cui segue che: 



«I 2(«-f-]j — 1) piani tangenti della curva S, passanti 

 per la retta MN, sono piani tangenti doppi per la superficie 

 0 (n. 1*). 



« Evidentemente questi piani sono tutti tangenti sì all'uno che all'altro 

 dei coni formati dalle rette osculatóri della superfìcie nei punti M ed N. 

 Osservando poi che ad un punto A della curva S corrisponde la conica spez- 

 zata nelle due rette AM, AN (n. 4) si ha : 



« Sopra la superfìcie 0 esistono 4 n rette delle quali 2n 

 passanti per il punto M, e 2n per il punto N 



« Il piano MNA tocca la superficie nel punto A, onde per la retta MN 

 passano 4 (n -\-p — l)-\-2n piani tangenti della superfìcie stessa, ossia: 



« La superficie 0 è della classe 6n-\-4:(p — 1). 



u 3*. Per generare la superficie 0 si può ricorrere al sistema delle 

 rette appoggiate alla retta Mi Ni e situate nei piani tangenti della svilup- 

 pabile 2, polare reciproca della curva S rispetto alla quadrica r (n. 8). In 

 allora si vede che per ogni piano tangente di 2, passante per Mi (od N x ) 

 vi è . una falda della superficie 0 passante per lo stesso punto Mi (od NO. 

 Perciò 



« I punti Mi ed Ni sono punti -^-planari della superficie 0. 



« I piani MNMi ed MNNi poi, segano 0 lungo n coniche circoscritte 

 rispettivamente ai triangoli MNM X ed MNNi . 



« 4*. La curva doppia J, della superfìcie 0 è il luogo delle coppie 

 di punti coniugati, nell'involuzione [I] , corrispondenti alle corde della curva S 

 appoggiate alla retta MN. E poiché di queste corde ne passano i (n — 1) (n — 2) — p 

 sì per M che per N (n. 1*), così J passa con altrettanti rami per ciascuno 

 di tali punti. Dopo ciò si calcola facilmente l'ordine di J e si trova: 



«La curva doppia della superficie© è dell'ordine 

 2(n — 1)2 — 2p( 2 )e quindi le sezioni piane della superficie 

 stessa sono del genere n-\~2p — 1. 



« Quanto ai punti Mi ed Ni è evidente (n. 3*) che essi sono \n,{n — l) 

 — pli per J . 



« La curva J ha un certo numero di punti tripli che hanno origine dalle 



(!) In generale la superficie non possiede altre rette differenti da queste. 

 ( 2 ) Se la curva S ammettesse un punto doppio, la conica k r ad esso corrispondente 

 sarebbe doppia per la superficie e quindi farebbe parte della curva à. 



