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ora dicendo A la funzione alternante 



(A x — A 2 ) (A x — — A n ) . . . . (A,^ — hh SÌ SCOT g e Che tUttÌ 1 



termini dello sviluppo ammettono questo divisore, e tolto che sia, lo spazio 

 cercato riceve l' equazione : 



a) y n + S x Xy n -i + 2 2 ly n _ t + H-^x %i + 2„ À = 0 , 



in cui 2 1 A = A 1 -j-A 2 4-A 3 + ... ; 2 2 A = A x A 2 + A x A 3 -{- . . . . etc. 



Ora il punto d'intersezione degli n spazi osculatori, si ottiene risolvendo il 



sistema di equazioni 



Xn ~\~ 

 Xn ~\~ 



Ai X n -i + 

 A 2 Xn— 1 -f- 



Ai 2 #?n— 2 H - " 

 A 2 2 ,2? n _ 2 -}~ 



+ 

 + 



A/ 1 - 1 a?i = — U 

 A/ 1-1 a?, = — A 2 ' 



A n x n — i — \- 



. r — ; 



n 2 # «— 2 ~f" • • • ~\ 



Oppure osservando l'equazione dello spazio osculatore generico, e riflettendo 

 alle notissime relazioni fra i coefficienti e le radici di una equazione algebrica; 

 per cui si trova immediatamente: 



Xi = — 2 X X ; 



x% = — 2 2 A ; 



x 3 



2ol etc; ora sostituendo 



nella (a), in luogo di y n , ij n -i ... y t , y x i valori di x x , x % . . . «n-i, 

 sempre per il fatto che n è dispari, si giunge in un polinomio che è identi- 

 camente nullo, perchè composto di un numero pari di termini, a due a due 

 eguali, e di segni opposti, dunque: 



«In uno spazio dispari E„, il punto comune ad n spazi 

 R„_, , osculatori d'una linea normale G„ , giace nello spa- 

 zio R n -i che passa per gli n punti di contatto. 



« Se lo spazio fosse d indice pari i termini della (ce) e quelli dell' equa- 

 zione dello spazio osculatore, sarebbero in numero dispari e perciò operando 

 come si è fatto, non si distruggerebbero tutti i termini. Vi sarebbe però sempre 

 corrispondenza reciproca fra punto e spazio, ma lo spazio non conterrebbe il 

 punto corrispondente. 



« Si osserva qui, solamente di passaggio, che in virtù dell' esposto teo- 

 rema, i così detti sistemi focali, non sussistono che negli spazi dispari, e 

 vengono attuati mercè il concorso delle singole curve normali di questi spazi, 

 come nello spazio ambiente sono attuati per mezzo della cubica gobba, il 

 che fu già mostrato dal Mòbius mediante considerazioni di statica, e ricordato 

 dal Cremona (*) e dal Beltrami ( 2 ) nei loro studi sulla cubica gobba ( 3 ). 



(!) Cremona, ibid. 



( 2 ) Beltrami, Memoria I, pag. 6. 



( 3 ) Per notizia indiretta, pervenuta all'autore di questa Nota, V incompatibilità degli 

 spazi pari, coi sistemi focali è stata dimostrata, non ha guari, da un giovanissimo geometra, 

 d'alte speranze. Il processo di questo autore, che non ha ancora pubblicato il suo lavoro, 

 è completamente ignoto a chi scrive. 



Rendiconti — Vol. IL 63 , 



