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« Siccome poi la geometria d' uno spazio H p è correlativa ad una stella S p 

 che sta in uno spazio R p+1 , così il teorema dimostrato ora per uno spazio 

 di spari vale per una stella posta in uno spazio pari che abbia una dimensione 

 di più di quello, cioè: In due stelle concentriche d'uno spazio 

 pari, può essere attuata la corrispondenza reciproca fo- 

 cale, per guisa che ad un raggio dell'una stella, corri- 

 sponda lo spazio del massimo numero di dimensioni del- 

 l'altre, il quale spazio contenga quel raggio e viceversa. 



« Sia ancora R„ lo spazio fondamentale d' indice dispari ; poiché al punto 

 (x x x% . . . x n ) corrisponde lo spazio R ra _! che passa per esso ed è rappresen- 

 tato dalla (a), in cui 



x x ; 2 2 X 



; 2 3 X — 



x s ; . . etc, la (a) potrà 



essere scritta così: 



y* 



%1 ]Jn-\ + 



x% y n -2 



Ora ponendo x r = u r -f- uv r ; (r == 1 , 2 , 3 . . . . n) , locchè corrisponde a far 

 correre il punto sopra una retta data, si otterrà un fascio di 1° ordine di 

 spazi R,,.! , che si può indicare così 6 -f- ,u0i = 0 . I due spazi 6 e d y si 

 segano in uno spazio R^ che è il corrispondente della retta data. In gene- 

 rale: si corrisponderanno fra loro gli elementi R^ ed R„_p, e quando 



fosse p 



n — 1 



si corrisponderebbero fra loro due spazi omonimi; fatto 



che non si può avverare in uno spazio pari. 



« Sia poi lo spazio d' indice pari o di indice dispari, sussiste sempre la 

 corrispondenza involutoria in senso generale, poiché se R n è lo spazio fonda- 

 mentale ed Rj'ii -f- (mR^Lì = 0 , un fascio di spazi ad n — 1 dimensioni, che 

 avrà per elemento assiale lo spazio R„_ 2 = R,'^ Rjjfli , ogni spazio di questo 

 fascio segherà la linea normale G n in n punti; ora se — X , A 2 , — A 3 , X 4 , — X 5 ecc. 

 sieno le coordinate generiche d'uno di questi punti, si potranno sostituire questi 

 valori in luogo delle variabili che stanno in R£Li ed in R^ e si avrà 1' equa- 

 zione d' involuzione di ordine n 



ip -\- [tipi = 0 , 



dalla quale si deduce che per lo spazio assiale R„_ 2 si possono con- 

 durre 2(n — 1) spazi R,^ tangenti alla C„; tanti essendo gli elementi doppi. 

 Una tale corrispondenza però, trae seco conseguenze particolari alla natura 

 degli spazi. Ma i limiti imposti non concedono ulteriori svolgimenti » . 



