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Matematica. — Alcune applicameli della teoria generale delle 

 curve polari Memoria del Socio Riccardo De Paolis. 



Questa Memoria sarà iuserita nei volumi accademici. 



Matematica. — Sopra una classe oV equazioni differenziali 

 lineari del seconi ordine e sull' equazione del quinto grado. Nota 

 di Davide Besso, presentata dal Socio Cerruti. 



« Nella Nota: Di una classe d'equazioni differenziali lineari del quarto 

 ordine integrabile per serie iper geometriche (*) ho dimostrato che l'equazione- 



x (1 - y" + (l- a*) (<u .« + b ) tJ + (/: ,, + gx + h) y _ Q 

 m cui le costanti a, f sono legate dalla relazione: 



a t — 2a — 4/=0, 

 può essere ridotta, con opportune sostituzioni, ad un' equazione ipergeometrica. 

 Nel presente scritto considero una classe più generale d' equazioni del secondo 

 ordine che possiede quella stessa proprietà; e dimostro poiché, dall'integra- 

 zione d' un' equazione particolare di questa classe, si può far dipendere la riso- 

 luzione dell' equazione 



if'+y 2 — x = 0 



che, coni' è noto, è una di quelle equazioni ad un parametro alle quali 1' equa- 

 zione generale del quinto grado può essere ridotta per via di radicali. 



I. 



« 1. L' equazione 



L» (x) y" + L (x) M (,;) y' + N (x) y = 0 ( a ) 

 nella quale L (x) , M(x), X(x) significano funzioni intere dei gradi m, m—1, 

 2m — 2, e le radici della prima sono diseguali, si può ridurre alla forma : 



L(^)/' + Q(^)/ + R^)y = 0 

 in cui Q(.f), B,(x) significano funzioni intere dei gradi m — 1 ed m — 2. 



"Infatti, indicate con /?> , ... p m le radici della L, e trasformata 

 la (a) colla sostituzione : 



y = (x — ft)*' (x — ...(x — p n f~ u , 



si troverà che il coefficiente della u! è il prodotto di L (x) per una funzione 

 intera del grado m — 1, e che il coefficiente della u è una funzione 

 intera del grado 2n — 2 , la quale riesce divisibile per L (x) quando la 

 h (h = 1 , 2 , . . . m) soddisfaccia all' equazione 



Yh* K* + h Yh (M - Yh) + N = 0 , 



0) Memorie della R. Accademia dei Lincei, voi. XIX, serie 3\ 

 Kendiconti — Voi,. II. 



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