zu den regelmäßigen Körpern. 



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unebenen Polygone, denn die durch kein Beispiel vertretenen 

 Fälle der hexagonalen trigonotypen Tetartoedrie und tetra- 

 gonalen sphenoidischen Tetartoedrie gehören beide der (über- 

 haupt nur drei Fälle besitzenden) Klasse jener Gruppen an, 

 welche von den unebenen regelmäßigen n-Ecken abgeleitet 

 wurden. Nur die letzte Gruppe dieser Klasse, nämlich die 

 tetragonale sphenoidische Hemiedrie hindert uns daran, den 

 Satz auszusprechen, daß Symmetriegruppen, welche unebene 

 n-Ecke als Yergleichskörper besitzen, nicht in der Natur 

 vorkommen. 



Dieser Tatsache läuft nun ein interessanter geometrischer 

 Unterschied parallel: Sowohl das trigonotype Sechseck als 

 auch das sphenoidische Quadrat können wir entweder mit 

 vertikalen, also der Hauptachse parallelen Symmetrieebenen 

 behaften oder aber uns als frei von solchen vorstellen: Die 

 tetragonale sphenoidische Tetartoedrie und hexagonale trigono- 

 type Tetartoedrie sind die so entstehenden „ürsprungsgruppen", 

 die hexagonale trigonotype Hemiedrie und tetragonale sphe- 

 noidische Hemiedrie die so entstehenden „Gesamtgruppen'' der 

 unebenen n-Ecke, erstere ist überdies identisch mit der Ge- 

 samtgruppe des zugehörigen ebenen n-Ecks, d. h. mit der 

 Gesamtgruppe des Dreiecks. Die Gesamtgruppen der un- 

 ebenen n-Ecke erscheinen von der Natur begünstigt vor den 

 Ursprungsgruppen, denn die tetragonale sphenoidische Hemi- 

 edrie kommt weit häufiger vor als die sphenoidische Tetarto- 

 edrie. Im ganzen sind also die kompliziertesten n-Ecke 

 zugleich die am seltensten in Betracht kommenden. 



Nunmehr wenden wir uns einer Beschreibung der 32 Sym- 

 metriegruppen zu, welche den von Becke betonten Mangel 

 nicht besitzt, aber die soeben besprochenen Beziehungen zur 

 Häufigkeit der Kristallformen verdunkelt. Ähnlich wie früher 

 leiten wir das reguläre, tetragonale und hexagonale System 

 vom Würfel, Quadrat und Sechseck ab, und zwar bilden wir 

 die Meroedrien dieser Systeme dadurch, daß wir die Flächen- 

 symmetrie dieser regelmäßigen Körper niedriger annehmen, 

 als es der rein geometrische Umriß bedingt. Immer aber 

 muß die Flächens3niimetrie so hoch bleiben, um den Umriß 

 des Yergleichskörpers aus einem Ausgangselement zu er- 

 zeugen (um also aus einer einzigen Ecke alle übrigen durch 



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