116 E. Sommerfeldt, Ueber die Beziehungen der Kristallpolyeder 



die meroedrischen Symmetrieelemente hervorzubringen und 

 ebenso aus einer einzigen Kante alle übrigen Kanten). 



Bei Beschreibung der Symmetrie einer Fläche empfiehlt 

 es sich, zwischen den beiden Seiten dieser Fläche zu unter- 

 scheiden und anzugeben, ob beide Seiten einander gleichwertig 

 sind oder nicht. In ersterem Fall müssen Symmetrieoperationen 

 existieren, welche die eine Flächenseite in die andere über- 

 führen; dementsprechend unterschieden wir zwischen „ge- 

 schlossenen'' und „offenen" n-Ecken, je nachdem ihnen beide 

 entgegengesetzten Flächenseiten oder nur eine derselbe bei- 

 gelegt wurde und wir wollen betonen, daß jede Ecke des 

 Yergleichspolygons auf zweifache Art nämlich entweder zur 

 Oberseite oder zur Unterseite gehörig aufgefaßt werden kann. 



Daher werden z. B. durch die Symmetrieelemente der 

 tetragonalen Holoedrie alle Ecken des Vergleichsvier ecks doppelt 

 erzeugt, wenn eine derselben z, B. eine auf der Oberseite be- 

 findliche zur Ausgangsecke gewählt wird; nämlich einmal er- 

 scheinen sie der oberen Flächenseite, zweitens der unteren 

 Flächenseite zugewiesen und sind daher bei der Übertragung 

 auf eine Konstruktionskugel in ersterem Fall als Grenzpunkt 

 der oberen, im zweiten als Grenzpunkte der unteren Halb- 

 kugel aufzufassen. 



Es ist nun leicht ersichtlich, daß die hexagonal-trigono- 

 type Tetartoedrie und tetragonal-sphenoidische Tetartoedrie 

 aus einem Sechseck resp. Quadrat dadurch erhalten werden 

 können, daß man die Gleichwertigkeit beider Flächenseiten 

 dieser n-Ecken aufrecht erhält und sie hinsichtlich ihrer 

 Symmetrie so spezialisiert, daß die Spiegelungen, durch welche 

 eine Flächenseite in sich übergeführt wird, fortzulassen und 

 zugleich der Grad der Drehungssymmetrie auf die Hälfte zu 

 reduzieren ist. 



Um hierbei der Nebenbedingung zu genügen, daß trotz 

 dieser geringen Symmetrie die Ecken des n-Ecks sämtlich aus 

 einer Ausgangsecke etwa aus der zur Oberseite gerechneten 

 Ecke erzeugbar sind, muß zunächst für das Quadrat folgendes 

 statthaben : Es muß die Ecke 3 so erzeugt werden, daß sie 

 der Oberseite, die Ecke 2 und 4 hingegen so, daß sie der 

 Unterseite des Quadrats zugewiesen erscheint, hierdurch ist 

 aber die vierzählige Drehspiegelung definiert. Wünscht man 



