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Fisica matematica. — Sulle derivate della furinone poten- 

 ziale di doppio strato. Nota del prof. G-. Lauricella, presentata 

 dal Socio V. Volterra. 



1. Sia f la funzione densità di un doppio strato W distribuito su di 

 una superficie S , la quale superficie soddisfi alle seguenti condizioni : 



1°. Ammette un piano tangente determinato in ogni punto, variabile 

 con continuità al variare con continuità del punto di contatto; 



2°. Esiste una lunghezza fìssa D tale che, preso un punto p qual- 

 siasi di S e considerato il cilindro circolare di raggio D , avente per asse 

 la normale alla superficie in questo punto, la porzione S D di S interna a 

 questo cilindro sia incontrata in un punto al più dalle parallele alla detta 

 normale ; 



3°. Esiste un numero fisso positivo a tale che, indicando con & l'an- 

 golo acuto che la normale in p fa con la normale in un altro punto qual- 

 siasi p e indicando con r la distanza pp\ si abbia : 



Si consideri un punto arbitrario p 0 di S; si riferiscano i punti dello 

 spazio ad una terna (x , y , s) di assi cartesiani ortogonali con l'origine nel 

 punto p 0 e di cui l'asse z coincida con la normale ad S nel punto p 0 ; si 

 indichi con f 0 il valore della funzione f nel punto jo 0 ; e si ponga : 



1 f 217 



x = QQ,o%ty , y = Q$emp ; — J f(g , xp) dtp = f. 



Il sig. Liapounoff nella sua importante Memoria ('): Sur certaines 

 questions qui se rattachent au problème de Dirichlet, dimostra l'esistenza 

 della derivata normale del doppio strato W nel punto p 0 , supposto che la 

 funzione f sia finita e continua e che inoltre soddisfaccia alla condizione: 



(i) |7-AI<^ +1 



con b , /? numeri positivi indipendenti da q . 



L' importanza di questo risultato consiste nel fatto che la condizione 

 suflBciente (1), posta per la funzione /, non riguarda i possibili prolunga- 

 menti di essa funzione in uno spazio circostante la superficie S, contraria- 

 mente a quanto capita in altre dimostrazioni della esistenza della derivata 

 normale di W; però essa condizione, almeno per la forma sotto cui si pre- 



0) Journal de Mathématiques pures et appliquées, s. 5 a , t. IV, 1898. 



