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In virtù delle (3), (4) i valori iniziali di Sì sono: 



(8) 



ove le funzioni: 

 (9) 



1 = 0 : i2 = F(r) , ?f = G(r) , 



sono, a priori, definite pei soli valori positivi di r. Noi ne estenderemo la 

 definizione a tutti i valori reali dell' argomento r ponendo : 



(10) F(— r) = — F(r) , G(— n) = — G(r) , 



ed analoga estensione sarà fatta per la funzione /, quando si ponga, per l ^ 0 : 



(11) x(-r,l) = -x(r,l). 



Nelle Lezioni di Riemann pubblicate da H. Weber, l' equazione (6) è 

 integrata, per x~ 0, col metodo di Riemann ('). Ancbe l'equazione (1) è 

 ivi ( 2 ) ricondotta, nel caso dell' omogeneità, all' equazione omogenea delle 

 corde vibranti ; si tratta qui di applicare quei metodi al caso della non omo- 

 geneità. 



Usando del metodo di Riemann, l' integrazione dell' equazione (6) 

 porge (*): 



(12) 2 S2(r , l) = F(r + l) + F(r- l) + ^dcc G(a)+ff %{r , /) dr 



di 



La superficie, cui è esteso il secondo integrale, è il triangolo isoscele 

 ABC rettangolo in C avente questo vertice nel punto del piano (r , l) in cui 

 è calcolata la funzione Sì , e la base AB sull' asse delle ascisse 1 = 0. 



Nel passaggio al limite stabilito dalla formula (5) il punto C si porta 

 sull' asse / . In tal caso l'integrale doppio della formula (12) s'annulla, perchè 

 il contributo portato all'integrale da due elementi simmetrici rispetto all'asse / 

 è nullo in virtù della (11). Non è nullo invece il limite del rapporto fra 

 queir integrale e 2 r per r convergente a zero, ma riducesi bensì a un inte- 

 grale semplice esteso al segmento CB, e precisamente 



lim — 



r=o 2r 



ff X (r,l)drdl = j=J*ds X . 



(!) Rieraann-Weber, Die partiellen Differentialgleichungen der mathematischen 

 Pyksik. 4 te Auflage. Braunschweig 1901. voi. II, § 90, pag. 224. 



(2) Riemann-Weber, voi. II, § 120, pag. 302. 



( 3 ) Il sig. prof. Volterra mi ha comunicato di aver usato la formula (12) nelle sue 

 lezioni. 



Rendiconti. 1905, Voi. XIV, 1° Sem. 



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