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anche fuori della normale in p 0 e che la funzione limite è finita e con- 

 tinua su tutta la superficie S . 



Se si osserva finalmente che la proprietà dimostrata per l'espressione (6) 

 vale, come è notorio, per l'altra: 



1 



d rfS, 



s d£ dn 



ne segue, appunto come si voleva dimostrare ('), che essa proprietà vale 

 ancora per l'espressione: 



d~ 



C f— ^2 . 



Js d£ dn 



4. Il metodo che abbiamo esposto può essere utilmente applicato nelle 

 sue linee generali a studi analoghi. In particolare si può dimostrare che la 

 funzione W ha le derivate prime tangenziali (p. es. :) rispetto u , v deter- 

 minate e finite nel punto p 0 e che i valori di queste derivate dalle 



due facce di S differiscono tra di loro ( 2 ) rispettivamente di in i^f) , 



\dU/p = p (s 



in (—) , ammesso solo che la funzione f abbia le derivate prime tan- 



genziali finite ed atte all' integrazione in lutto un intorno del punto p 0 

 e continue in questo punto. 



Il sig. Liapounoff, al § 21 della sua citata Memoria, dimostra l'esi- 

 stenza delle derivate tangenziali di W, ammesso che la funzione / si possa 

 considerare come definita dai valori nei punti della superficie S di una fun- 

 zione F finita e continua insieme alle sue derivate prime e doppie in tutto 

 uno spazio circostante S. 



(!) Nell'enunciare al § 1 le condizioni a cui per ipotesi deve soddisfare la funzione f, 

 si era detto che condizioni meno restrittive si possono porre per essa funzione. Per vederlo 

 basterà anzitutto rammentare che le formole (4), (5) richiedono la sola continuità della 

 funzione f, e che per la validità dell'altra formolo, di Green estesa alle superficie gobbe : 



1 



- I s «- « i ds =1 v (x -f) dS *jW.)^*. 



nella quale v/-^-,/) è il parametro differenziale misto delle funzioni ~ , f, è suffi- 



ciente che la f abbia le derivate prime rispetto u e v finite e continue; e notare poi 

 che, con metodo analogo a quello del prof. Morera relativo alle derivate seconde della 

 funzione potenziale di spazio (Rendiconti dell'Istituto Lombardo, ser. II, t. XX), intro- 

 ducendo solo i rapporti incrementali delle derivate prime della funzione f, si può dimo- 

 strare l'esistenza di un limite determinato e finito dell'espressione al secondo membro 

 della formola precedente per |f[ = 0. 



( 2 ) Cfr. ad es. : Poincaré, Théorie du Potentiel Newtonien, §§ 113, 114. 



Rendiconti. 1905, Voi. XIV, 1° Sem. 10 



