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mentre, se l'ellissoide è schiacciato, r e h sono da ritenersi immaginari puri. 

 Ponendo ora, in ogni caso: 



(4) x=m , y = h]/{q % — 1)(1 — /*)cosV , * = /*t/(e 2 — 1)(1 — t z )senxp 



saranno Q,t,tp un sistema di coordinate curvilinee ortogonali ('). Nel caso 

 di un ellissoide allungato, oltre a supporre h reale, faremo anche le ipotesi 

 che (> sia reale con | q | >. 1 e che 1 1 | <. 1 , mentre, nel caso di un ellissoide 

 schiacciato, oltre alla ipotesi che h sia puramente immaginario, faremo anche 

 le altre ipotesi che anche q sia puramente immaginario e che |it|^.l. Con 

 queste convenzioni, nel sistema di coordinate q , t ,ip, l'equazione (3) del- 

 l'ellissoide, sarà sempre g = r. 



Se poniamo allora i valori di una qualunque funzione <p dei punti della 

 superficie (3), soddisfacente alle note condizioni generali che qui non staremo 

 ad enunciare, sotto la forma 



00 00 



(5) Jl, Y m (A m>i cos tip -j- B mii sen ixp) P m ,, (t) 



0 i 



dove 



e le P m (0 sono le solite funzioni di Légendre, sarà, com'è noto: 



(6) j 2^+i A %«- - 2 ; j Tl J 0 dz d< ° * p - w cos i<ù 



j— r B m ,i = 2 7 ~r dtdwy P Mii (t) sen «<» , 



2m -f- 1 (w -j- e)! J_, J 0 



mentre la funzione £> armonica e regolare nell'interno dell'ellissoide che 

 sulla superficie acquista i valori y>, sarà data dalla formola 



(7) 4> = Y . y m (A M>i cos ixp + B m ,f sen iy>) =^)g P Mli (*). 



In tutti e due i casi in quistione, in quello cioè dell'ellissoide allungato e 

 in quello dell'ellissoide schiacciato, poniamo per convenzione: 



t/l — q 2 = V— 1 }V — 1 , 1/1 — r 2 =t/— lj/r 2 — 1. 



Ne viene allora che, in entrambi questi casi, ~P m ,i(Q) e P m ,i(r) sono funzioni 

 ben determinate tali che il loro quoziente è reale. Inoltre P OT ,i(r) è diverso 

 da zero per qualunque valore di m e di i. 



(!) Se stabiliamo dì dare a q soli valori positivi, se è reale, o valori positivi al 

 coefficiente dell'immaginario, se è immaginario, mentre t possa assumere valori positivi 

 e negativi e xp vari da zero a 2n , ad ogni sistema di valori di q ,t ,ip corrisponderà un 

 solo punto dello spazio, e viceversa. 



