Per esporre la soluzione del nostro problema nel modo più spedito, 

 notiamo le formolo seguenti di cui faremo uso quasi esclusivo e che sono, 

 almeno in parte, ben note : 



(i - t-n = (m + i) [<p m (t) - p TO+1 (0] , 



(8) i (2m + 1) tP m (t) = (m + 1) P m+1 (t) + mP m _, (t) , <P 0 (<) = P,(0 

 f (2m + 1) P m (<) = ^ [pj, (0 - P TO _, (0] , Po (f) = , 



da cui si deducono facilmente le altre : 



(1 - t 2 ) = - mtY m (t) + (m + i) P. m _ M (0 , 



(2m + 1) *P Mii (*) — (m — i -h 1) V m+Ui (t) + (w + ») P^.i (/) , 



(2w + l)f/l P mii (0 = P w+M+1 (0 — P^-mh-, (*J = 



= — (to — i +1) (m — e + 2) Pm+Li-iiO + (»» + 0 (?»+ : * — 1) Pm-l,i-l(0, 



(8 f ) 



— (w + i) (m + e — 1) Pm-i,»-i (0 , 

 rm— n 



P^i(g) Pm,i«)-P, H .,, < (<)Pm, f (g) = (2fB + 3) L » J (2w + x _ x 



Q t o 

 ( m — i — 2k) ! (ffl-f-?)! 



dove I :: ^-r — " I indica il massimo intero contenuto in — 



\~m — fi 



" l— J 



2 



Con l' aiuto di queste forinole possiamo intanto calcolare le derivate 

 parziali della funzione <P rispetto ad x , y , z . Abbiamo infatti : 



