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Cerchiamo le condizioni affinchè u , y , io non dipendano dalla linea di 

 integrazione s; ma solo dai due estremi A 0 e A! , ossia, supponendo A 0 fisso, 

 cerchiamo le condizioni affinchè u , v , w siano funzioni di X\ y y\,Z\. 



2. A tal fine basterà supporre la linea s chiusa, ossia i punti A 0 e Ai 

 coincidenti e determinare le condizioni perchè gì' integrali estesi alla linea s 

 siano nulli. 



Il teorema di Stokes, allorché la linea s è chiusa, trasforma i detti 

 integrali in 



I: 



yi — y 



B — — 



+ 



{z y — z)^-\- Xl ^ |cos?u? 



J cos nx + 



C 



(y, — y) E + C J cos nx + 



D 



x)F + 



— — A 







y 





2 







i 



- 5 



v- 



2 









X 





2 







i 



-z 





2 





.Vi 





y 





2 









y 





2 





~j cos nz | c/c 

 A^j cos ny -f- 



C I cos ny -j- 

 B cos nz > da 



G 



in cui o - è una superficie avente per contorno s ed interna allo spazio S, 

 n denota la normale a e scelta in un verso conveniente e 



A = 



Ì)X 



\ ìv 



+ 



^12 



~òZ 



B = 







+ 



7^23 





\ Ì)Z 



1)X 



C = 



ìz' 



v ~òx 



+ 



7)y 



"ci*- / 7i5 7}y 

 Dy } J 7 



22 



2, 



P 



735 / 7)y7 



33 



7> 2 y32 



7)^22 



7) 2 /33 



7>y 7)^ 



7)5 2 



7)y 2 ' 



7) 2 y.3 



7) 2 /33 



7) 3 y n 





7)tf 2 



7>5 2 ' 



7) 2 / 2l 



7)Vn 



V/ 2 2 



}x~òy 



>y 2 



Dx 2 



Ne segue che le condizioni necessarie e sufficienti affinchè u , v , w siano 

 indipendenti dal cammino s d'integrazione sono 



(II) A = B = C=E = F = G = 0. 



3. Supponiamo verificate le precedenti equazioni ; u , v , w saranno fun- 

 zioni di X\ , yi , Zi . 



Per calcolare le derivate dovremo tener conto che queste quantità com- 

 pariscono esplicitamente sotto il segno di integrazione e sono nello stesso 



