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tempo le coordinate di un estremo del cammino d' integrazione. Fatta questa 

 osservazione le ordinarie regole del calcolo conducono subito alle formule 



[ ìzi ^ Dyi ~ 723 ' ~ò%i T ^ ~ hl ' ìy x ^ ^, ~ /l2 ' 



Possiamo quindi concludere che, quando le y rs soddisfano le equazioni (II), 

 si possono trovare le tre funzioni u ,v ,w che verificano le (1), ossia che 

 le yrs si possono considerare come le caratteristiche della deformazione di 

 un mezzo elastico. La proposizione reciproca si verifica immediatamente. 



4. Le formule (I), (!'), (I") sono notevoli, perchè ciascuna di esse dà 

 modo, con una semplice quadratura, di ricavare una delle componenti dello 

 spostamento dalle caratteristiche della deformazione. 



Kirchhoff ( l ) e Love ( 2 ) hanno espresso ciascuna delle derivate di u , v , io 

 per mezzo di una analoga quadratura. Si può passare, mediante facili in- 

 tegrazioni per parti, dalle formule di Kirchhoff e Love alle (I), (V), (I"). 

 In esse compariscono le sei costanti arbitrarie u 0 , v 0 , w 0 ; p 0 , q<> , r 0 , cioè 

 i valori delle componenti dello spostamento nel punto A 0 e quelli delle com- 

 ponenti del vettore chiamato da Maxwell rotazione. Le (II) non sono altro 

 che le ben note formule del De Saint-Venant. 



5. Le equazioni (II) esprimono le condizioni affinchè i valori di u,v,w 

 dati dalle (I), (F), (I") siano indipendenti dal cammino d'integrazione, al- 

 lorché lo spazio S è semplicemente connesso; ma se lo spazio S fosse più 

 volte connesso, potrebbero i detti valori dipendere dal cammino d'integra- 

 zione, pur essendo soddisfatte le (II). Ricordiamo infatti che la dimostra- 

 zione della indipendenza del cammino sui valori di u ,v ,w si è ricavata 

 nel § 2, quando lo spazio è semplicemente connesso, dal fatto che ogni 

 linea chiusa s dello spazio può ritenersi contorno di una superficie e ap- 

 partenente allo spazio stesso. Ma se lo spazio è più volte connesso, questo 

 fatto non si verifica più per ogni linea s, e di qui segue che il cammino 

 può influire sui valori di u,v,w. Avremo dunque il teorema seguente: 



Un corpo elastico che occupa uno spazio semplicemente connesso e la 

 cui deformazione è regolare, si potrà sempre ricondurre allo stalo natu- 

 rale mediante spostamenti finiti continui e monodromi dei suoi punti. 



Invece potremo dire: 



Se un corpo elastico occupa uno spazio più volte connesso e la sua 

 deformazione è regolare, gli spostamenti dei punti non saranno necessa- 

 riamente monodromi. 



(>) Mechanik, XXVII Vorl. § 4. 



( 2 ) Math. Theory of elasticity, voi. I, § 66. 



