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Noi diremo che Hi è la nostra prima funzione ausiliaria, se la grandezza 



- — Hj , in ogni punto del contorno, e la grandezza 4% , in ogni punto 



del campo, sono indipendenti da cioè non variano, comunque si 



sposti nel campo il solo punto Ai. 



Se u è nota al contorno e J 2 u nel campo, la formula (1) determina u 

 nel polo, a meno della costante 



j;^JMS-J~(i-H,)f>, 



la quale si determina subito, facendo tendere il polo verso un arbitrario 

 punto del contorno. 



Se K x è una funzione regolare in S , tale che la grandezza — , 



in ogni punto del contorno, e la grandezza J 2 Ki , in ogni punto del campo, 

 siano indipendenti dal polo, diremo invece che K\ è una funzione analoga 

 alla prima funzione ausiliare. Una formula analoga alla (1) mostra, in 

 questo caso, che; se della funzione u è noto il J 2 nel campo, e, sul con- 

 torno, colla condizione 



Jtn dù +f J * udS ' 



die 



sono noti i valori di — , nei singoli punti ; basta la conoscenza di Ki perchè 



sia determinata u nel polo, a meno d' una costante, che non è, in generale, 

 determinabile. 



Passando al caso della ^/ 4 , vediamo che valgono le due formule note 

 m& x , y, , .1) =f(u ^-j tr f^d* + 



+ f (js u -f- — r ^j U \ da — CrJ 4 udS , 

 J \ dn dn J J 



CI dJ 2 H 2 . TT du\ 7 , 

 °=J \ d~n J ^dn) da f 



se H 2 denota una funzione regolare in S . Noi chiameremo H 2 seconda fun- 

 zione ausiliare, se la grandezza H 2 , nel campo, e le due grandezze 



r — H 2 e y~ j-^ , sul contorno, sono indipendenti dal polo. Il solito 



criterio lascia stabilire una formula, per la quale, se è nota, per un campo, 



dn 



la funzione H 2 , è anche nota la funzione u nel polo, dato u e -r- al contorno. 



dn 



