u s = r^ — , la serie 



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é?xéò\n(m — l)Il(2n)\_ 



-^2n+2 



-^2n-t-3 -jj2«+2 — I 



2(Z k) ^ 2 n+3 M in+ 2m-l -^2„+2 ^2«+2m (4A) 2n 



77(m - 1) n(2n + 1) |_^ 2M+3 ^" +2m ~ ^ ~^ ' ^ 2w+4 U * m + 



->j2w+2 1 \ 



H~ ^2n+3 M 2"+2m+i (4^.) 2n+1 > , 



sommata con un'altra, T', ottenuta da T col mutamento di h in — h, se T 

 è opm jozmta di S assolutamente convergente, rappresenta una funzione 

 H 2 , soluzione regolare in S della J t = 0 , e tale che sul contorno diventi 

 r — g , e che la derivata normale coincida colla derivata normale di r — q ; 

 dunque H 2 verifica le condizioni richieste per essere una seconda funzione 

 ausiliare. 



Giacché l' importanza di queste funzioni ausiliari consiste nelle appli- 

 cazioni che possono farsene, noi vogliamo insistere sulla convergenza assoluta 

 della serie che adoperiamo. Ci basterà assodare la convergenza di 



00 00 



(2) V y #(m + 2a — 1) 



1 ' ^^n{m — l)n{2n) 



e la convergenza assoluta di tutte le altre risulterà dalle cose che diremo 

 per questa. 



Osserviamo che si può scrivere 



ZC\t 7\ — — £Q 



dove l'indice m è soltanto un simbolo di valor medio. Si deduce che la 

 convergenza della serie (2) conseguirà dalla convergenza in ogni punto di 

 S, di una serie come l'altra che qui scriviamo: 



f f n(rn + 2n-l) 



2n+3 



2n+3 



Questo vantaggiosissimo innalzamento dell'ordine di derivazione non si avrebbe, 

 se non avessimo inserito le derivate di — g-t (indipendenti dal polo) nella 

 serie. Il procedimento stesso che seguiremo dimostrerà il vantaggio. 



Osserviamo che la prima derivata di ry, rispetto a z, ha la forma — , 



dove è facile vedere che cosa indichiamo con Z. Applicando la formula di 



