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Leibniz al prodotto di Z per —, e notando che le successive derivate di Z 

 sono tutte nulle, tranne la prima che è uguale all' unii à, otteniamo 



Ciò mostra che la convergenza di (3) può dedursi da quella di un' altra 

 serie che differisce da (3) per avere ^ n ^ al posto di r 2n +2m-i , e una 



^2n+2m— l 



derivazione d'ordine 2n -f- 1 invece di una d'ordine 2n -f- 3 , nel termine 

 generale. Ma è facile a verificarsi la relazione 



Per applicazione della formula di Leibniz, se ne deduce 



(v — l) 2 J — i : — + (2v — 1) Z - i — ; — -f r 2 — = 0 . 



Il procedimento d' induzione mostra che esiste un valore di v, oltre il quale 

 è sempre giusta la relazione 



.21 _L 



'ò"JI(v — 1) 



V +1 



e, giacché si può agevolmente stabilire la formula, per v abbastanza grande, 



i> n(v) < v\ 



qualunque sia il numero X indipendente da v, noi vediamo con osservazioni, 

 che, soltanto per brevità, non riferiamo, che, se converge la serie 



,■!•*) fin + l) 2re+1 



V y n(m + 2n—l) /3\ 2 

 1 ; ~ 0 n{m-l)n{2n)\l) 



(m-\-n — 1) 



2n+2 ' 



anche la (3) risulta convergente. 



Se chiamiamo v m , 2n +i il termine qui scritto della (4), il rapporto 

 v m ,2n+3 • v m , 2n -j-\ avrà il valore 



(m + 2n) (m + 2n -f 1) /3\ 2 / _2 \ 2w+1 / 2w + 3 \ 2 / 1 \ 2w+2 



(2» + l) (2» + 2) \A/ \ + V Vw-fw/ \ + m + ^/ 



È chiaro che, disponendo di X , noi possiamo fare in modo che, per n abba- 

 stanza grande, questo rapporto non superi, qualunque sia m, una grandezza a, 

 più piccola di 1. Ma nella Nota, che ho citata, o in facili osservazioni 

 dirette, si hanno tutti gli elementi per dimostrare la convergenza di una 



