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Allora, se il corpo è isotropo, per risolvere il problema basterà sovrapporre 

 alla deformazione r, determinata dalle distorsioni e dalle tensioni T, quella 

 prodotta dalle azioni esterne date e dalle tensioni superficiali-T nella ipotesi 

 che le distorsioni manchino. 



In certo modo il teorema enunciato serve, in tutti i casi di isotropia, 

 ad eliminare le distorsioni, sostituendovi delle tensioni superficiali, e perciò 

 esso riconduce le questioni riguardanti distorsioni a questioni ordinarie della 

 elasticità. 



Se il corpo fosse anisotropo si vedrebbe facilmente che lo stato di de- 

 formazione r sarebbe equilibrato da tensioni superficiali e da forze di massa, 

 quindi sarebbe facile anche allora eliminare le distorsioni e ricondurre le 

 varie questioni che possono presentarsi ai problemi ordinari della elasticità. 



L'art. II sarà consacrato alla dimostrazione del teorema sopra enunciato 

 e l'art. Ili all'esame di un caso particolare. 



Art. II. 



1. Per dimostrare il teorema enunciato nell' Art. precedente ci converrà 

 stabilire alcune formule preliminari ('). 



Denotando con r la distanza fra due punti {x , y , z) e (£,??,£) poniamo 

 col Somigliana ( 2 ) 



1 , a i z r a ~ò 2 r a ~ì> 2 r 



ì" 1 2 2 ~òx !>y ' 1 2 ~òx ~òz 



a ~ò 2 r 1 , ce ~ò 2 r a ~ò 2 r 



U2 = o^r^r » y 2 = - + o^r > w * = 



2~òyl)X ' r 1 2 ly 2 ' 2 ~òy Is 



a ~ò 2 r a ~ò 2 r 1 , a ~ò 2 r 



Uz ~ 2~^z~Vx ' V3= 2~^y~ ' W3 = r + 2^7' 



Le precedenti funzioni non hanno singolarità altro che per x — t , 

 y = r) , s — £ e sono simmetriche rispetto alle coppie di variabili x ; ^ , 17 ; £ , f . 



Se a = — ^ 7^~ 0 ^ ciascuna terna di funzioni u s , v s , w s verifica in tutto 

 lì— (— 2K. 



lo spazio, (escluso il detto luogo singolare) le equazioni differenziali 



Ki H (K-fL)^(^ + ^ + ^ = 0 



1 v 1 ~ì)X\l)X ~òy ~òs / 



(1) \ KJ 2 v -f- (K + L) — (— + ~ + — ì = 0 



) ■ ~ v n ' 7>y\lx~ !>y 1 1)2/ 



K/ w + fK + L)^^ + ^ + ^ = 0 

 1 v 1 1 ' 7>s \~òx 1 ~òy 1 it) 



(') Esposi queste formule in un corso sulla teoria della elasticità che tenni in Pisa 

 nel 1892 ed esse vennero già citate dal prof. Lauricella nella sua dissertazione (Annali 

 della Se. Normale di Pisa, 1894). 



( 2 ) Annali di Matematica, T. XVII, S. II. 



