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Matematica. — Sulla ricerca di soluzioni particolari dei 

 sistemi differenziali. Nota di T. Levi-Civita, presentata dal Socio 

 V. Volterra. 



Alcuni anni or sono ebbi ad indicare Q) una regola costruttiva di so- 

 luzioni particolari dei sistemi canonici, in base alla conoscenza di loro in- 

 tegrali o relazioni invarianti. 



Mi propongo ora di far vedere, generalizzando e semplificando insieme, 

 che risultati analoghi sussistono per i sistemi differenziali di forma qualunque. 



All'uopo mi basterà precisare analiticamente quest'unica osservazione, 

 quasi immediata dal punto di vista geometrico: 



Nello spazio rappresentativo delle curve integrali di un generico sistema 

 differenziale si prenda a considerare una qualunque varietà V invariante, 

 cioè formata da curve integrali. 



La sottovarietà W, luogo dei punti doppi di V, risulta — ecco l'os- 

 servazione — invariante essa pure. 



Nota V, si ha senz'altro W, e la conoscenza di una tale varietà più 

 ristretta facilita ovviamente la determinazione di quelle soluzioni particolari 

 (curve integrali), che ne sono le generatrici. 



Per il caso speciale dei sistemi canonici, si viene così ad aggiungere 

 qualche cosa alla regola ricordata da principio; tra altro se ne abbraccia 

 una estensione, già ottenuta dal prof. Burgatti ( 2 ) per via interamente diversa. 



1. Sia un generico sistema differenziale 



(S) ^Xj(«, , ... , Xn ; i) (i = i , 2 , ... , »), 



colle Xj — quasi è superfluo avvertirlo — funzioni uniformi e regolari dei 

 loro argomenti nel campo, che si considera. 



Conveniamo di designare con óxi degli incrementi infinitesimi delle Xi, 

 compatibili colle equazioni differenziali (S), atti cioè a far passare da una 

 soluzione delle (S) ad altra soluzione infinitamente vicina. 



Questi dxu che chiameremo per brevità spostamenti virtuali, sono, per 

 loro definizione, integrali delle così dette equazioni alle variazioni ( 3 ) 



(') In questi Rendiconti, ser. 5 a , voi. X, 6 gennaio 1901. 



( 2 ) In questi Rendiconti, ser. 5 a , voi. XI, 20 aprile 1902. 



( 3 ) Cfr. Poincaré, Les méthodes nouvelles de la mècanique céleste. T. I, nn. 53-54. 



