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Dimostrazione. In primo luogo la ipotesi che (A) sia invariante si tra- 

 duce in formule mediante una identità del tipo 



(2) f = ,H, 



con fi funzione regolare ( 1 ). 



Si ha d'altra parte, pure per identità (rispetto a tutte le lettere t , 

 Xi , èx t ) 



dt dt 



- 



Sostituiamovi, al posto di , la sua espressione esplicita y_ i dxi , 



al posto di — , il valore (2). Otterremo 



Quando si tien conto delle (A), (B)) ( 2 ), il secondo membro si annulla 

 e resta 



V d ^ H A A 



la quale, dovendo sussistere per tutti gli spostamenti virtuali, si scinde nelle 



di^r 0 0=1.2....,»). 



C 1 ) Si tratta infatti d'esprimere che —j- si annulla, se non identicamente, almeno 



in virtù di H = 0. Ora basta immaginare assunta H come variabile al posto di una delle x , 



dH. 



e pensare allo sviluppo della in serie di potenze della H, per concludere che deve 



mancarvi il termine indipendente da H, il che equivale appunto al sussistere della (2). 

 Va notato tuttavia che, poggiando il ragionamento sulla sostituzione della H ad una delle 



x, rimangono esclusi quei valori, in cui ogni - — si annulla, valori che a noi parti- 



uXi 



colarmente interessano. Effettivamente non si può senz'altro asserire (come logica conse- 

 guenza della supposta invarianza) che la (J, debba, anche per essi, comportarsi in modo 

 regolare. Ma noi, per semplicità, converremo di limitarci a questo caso. 



( 2 ) Tener conto delle (A) , (B x ) significa in sostanza riferirsi a valori delle x% , i 

 quali rendano simultaneamente soddisfatte le (A), (Bi), per un generico valore di t. Ecco 

 come interviene la condizione di compatibilità, espressa nell'enunciato del teorema. 



