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Le derivate dei primi membri delle (B^ vanno dunque a zero, in virtù 

 della (A ) e delle (Bj) stesse. 



C. D. D. 



Importa aggiungere che: 



dH. 



a') Se la (A) è un vero integrale, —j- è identicamente nulla, e le equa- 

 zioni (Bi) costituiscono un sistema invariante di per sè sole. 



Lo si desume dalla (3), tenendo conto che si ha in questo caso (i = 0. 



Osservazione. Le equazioni (A) , (B,) sono in numero di n-\- 1, mentre 

 le Xi sono appena n. La loro compatibilità appare così come una circostanza 

 puramente eccezionale. Non però nel caso a'). Allora basta evidentemente 

 occuparsi delle (Bi), il cui numero non supera quello delle x t ; la (A) risulta 

 di necessità soddisfatta per opportuna determinazione della costante arbitraria. 



3. Consideriamo più generalmente un sistema 



(I) H = 0 , F 1 = 0 , F 2 = 0 F OT = 0 



di m -f- 1 equazioni complessivamente invarianti di fronte ad (S) ; H , ¥ x , 

 F 2 , ... , F m essendo uniformi, regolari ed indipendenti. Lo sono allora in 

 particolare le F, sicché potremo, senza pregiudizio della generalità, imma- 

 ginarle sostituite ad altrettante x ; ad x\ , x% , ... , x m per es. 

 Il sistema (S), nelle variabili 



l > -^8 i ••• j F m , Xm+\ i ••• i <£n ì 



assumerà l'aspetto 



d¥ r J , Ir 



— = x r (r = 1 , 2 , ... , m), 



(S r ) { Ax 



~ d J = S i (y = w + l, ... , n), 



le 3 comportandosi rispetto alle nuove variabili come le X rispetto alle 

 primitive. 



L'ipotesi che le (I) costituiscono un sistema invariante implica che 



dR dF^ d^2 d¥m_ g . annu m no j n Yutù delle (I) stesse, cioè che sus- 



dt dt dt dt 



sistano identità della forma 



(4) ^ = MH + ^ r M r F r , 



(5) ^ = N r H+ y s N rs F s (r=l,2,...,m), 



colle M ed N funzioni regolari (')• 



(*) Per giustificarlo, non c'è che da riportarsi alla nota della pag. 205 estendendo 

 quelle osservazioni in modo ovvio. 



