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Ciò posto, designiamo con f ciò che diventa una generica funzione 

 f{xi , x 2 , ... , x n ; t) quando la si riduce a mezzo delle 



P 1 = 0 , F 2 = 0 F m =0, 



quando cioè, se f si risguarda espressa nelle variabili trasformate, si pon- 

 gono le prime m eguali a zero. 



La (4) permette di asserire che 



H = 0 



è una relazione invariante di fronte al sistema ridotto 



(S) ^f = Sj (j = m + l,... ,»). 



<iH 



Partiamoci infatti dalla espressione di —, valutata in base ad (S), o, 

 ciò che è lo stesso, in base ad (S r ). Essa è 



dit ~òt | ^)Fy m+l 



Ponendovi P r = 0 (r = 1 , 2 , ... , w) e tenendo conto delle (4) , (5) , si 

 ricava 



j y j)H jj i ^ | 



m+\ 3 \ 1 ^Py ^ 



Il primo membro non è che la derivata di H rispetto a t, calcolata in 

 base alle (§); nel secondo c'è H a fattore. 

 L'asserto è così dimostrato. 

 Per il teorema a), il sistema costituito da 



H = 0 , <JH = 0, 



cioè, esplicitando, da 



H = 0, ^ = 0 (j=m + l,...,n), 



òXj 



è invariante di fronte ad (S). 



Questa conclusione si può anche interpretare, dicendo: 

 a') È invariante di fronte ai (S) (purché, si intende, vi sia compati- 

 bilità) il sistema costituito dalle (I) e dalle equazioni in termini finiti 

 esprimenti che 



(C) cJH = 0, 



per tutti gli spostamenti conciliabili con F L = 0 , F 2 = 0 , ... , T? m — 0. 



