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In definitiva dunque ogni — ~ si annulla, quando si tenga conto delle 



Cuv 



(I) , (Ci). 



C. D. D. 



Come al numero precedente, se ne trae un corollario: 

 b') Se alcune delle (I) — in numero di k, diciamo — sono veri in- 

 tegrali, è di per sè invariante il sistema costituito dalla equazione ÓR = 0 

 (condizionata come sopra) e dalle m-\~l — k rimanenti (I). 



Le equazioni, che debbono essere compatibili, sono allora in numero di 

 n -j- 1 — k , cioè le dette m -f- 1 — k , più le n — m, che provengono da 



<ra=:0. 



4. Soluzioni particolari (stazionarie). Riferiamoci all'enunciato b') in 

 cui possono ritenersi compresi il teorema b) (k = 0), il teorema a) {vi = 0 , 

 k = 0), e il suo corollario a') (m =0 , le = 1). 



Le n -{- 1 — k equazioni, per ipotesi compatibili, equivarranno a 

 a -f- 1 — k — k' distinte (k' >. 0). Si potranno supporre risolute rispetto ad 

 altrettante x, e, riducendo in conformità il sistema (S), si avrà, per definire 

 le rimanenti, un sistema di ordine k-\-k' — 1. Di questo però si conoscono 

 già k integrali [provenienti coll'accennata riduzione da quelli, che, per ipo- 

 tesi, figurano tra le (I)]. In definitiva resterà così da integrare un sistema 

 d'ordine k' — 1 ; integrato che sia, esso fornisce cc 7l+h '- 1 soluzioni del si- 

 stema (S) proposto. 



È ben giustificato chiamarle stazionarie, rispetto alla funzione H , che 

 interviene nella loro definizione, in quanto, per tali soluzioni, si ha (colla 

 debita relatività) <fH = 0 : H assume dunque un valore massimo, o minimo, 

 o più esattamente stazionario, in paragone di quelli che (per uno stesso va- 

 lore di t) gli competono sopra un'altra qualsiasi soluzione infinitamente vi- 

 cina, appartenente anch'essa alla varietà ¥ L — F 2 = ... = F m = 0 . 



5. Caso dei sistemi canonici. Se si suppone che il sistema (S) abbia 

 forma canonica, che le funzioni F sieno in involuzione e indipendenti da t , 

 e che H, pure indipendente da t , coincida, a meno di una costante addi- 

 tiva arbitraria, colla funzione caratteristica del sistema canonico, si è ricon- 

 dotti alla proposizione, che ho avuto l'onore di comunicare all'Accademia 

 nel 1901. 



Se poi nelle enunciate condizioni addizionali, si scambia H con una 

 delle F e t con una delle variabili canoniche, si ritrova il risultato del 

 prof. Burgatti. 



Questi casi presentano però particolare interesse, non solo per le appli- 

 cazioni meccaniche, che ne conseguono, ma anche per il grado di generalità 

 delle soluzioni corrispondenti. Si dimostra infatti in entrambi i casi che k' 

 è di necessità >. m ; mentre, per un (S) qualunque, non si hanno analoghe 

 limitazioni. 



Rendiconti. 1905, Voi. XIV, 1° Sem. 26 



