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sione senza punti fissi, e rileva come l'esistenza di queste serie può portare 

 una limitazione pel genere della curva che si considera. 



Kaccogliendo quest'idea, sono effettivamente riuscita ad abbassare il 

 limite di W dato dal Segre, e scopo di questa mia Nota è appunto di esporre 

 i risultati a cui sono pervenuta. 



Dalle limitazioni del Segre dunque si trae che si avrebbe un punto di 

 Weierstrass offrente la massima molteplicità quando nelle formule A) valesse 

 il segno eguale, ossia quando s'avesse che in quel punto 



4 = 2k -f- 1 per k == 1 , 2 . . . p — 3 

 ip—2 — 2*p — 2 . 



Supponiamo, s'è possibile, che un tale punto esista, e anzi più in gene- 

 rale supponiamo ch'esista un punto di Weierstrass sopra una curva non iper- 

 ellittica di genere p in cui una qualunque delle i p. e. la 4 (escluso il valore 

 di k—p — 2) abbia il valore 2k-j-l. Allora dovrà esistere sulla curva 

 che si considera una g'iu+2 senza punti fissi e con un punto (2k -f- 1) u p 1 ° 

 nel punto di W, non composta. Ch'esista la ^'s+i senza punti fissi segue dal 

 fatto che pel teorema di riduzione (4 -f- 1) = 2 k -f- 2 è un ordine mancante 

 nel punto di W. , e (4-i + l)-^-2k (per le (A)) è l'ordine mancante che 

 immediatamente lo precede (*), onde 2k -f- 1 è certo un ordine esistente che 

 corrisponde a una serie lineare completa di dimensione k pel teorema Rie- 

 mann-Roch. Che poi questa serie non possa essere composta si vede nel se- 

 guente modo: supponiamo dapprima che, essendo le altre i qualunque, sia 

 però 4-i = 2k — 1 (suo limite superiore secondo le (A) ) ; per quanto fu 

 detto sopra dovrà esistere allora una g^li completa senza punti fissi eoa un 

 punto (2k — 1) upl ° nel punto di W. ch'è il resto del punto di W. contato due 

 volte rispetto alla g'-ìn+i menzionata di sopra; di qui segue che un gruppo gene- 

 rico di detta g^u+i contenente il punto di W. lo contiene come punto doppio, 

 d'onde si trae che la g'£n+\ non potrebbe che essere composta con un'involu- 

 zione del 2° ordine, il che è assurdo poiché 2k -f- 1 è un numero dispari. 

 Se poi la 4-i è inferiore a 2k — 1 il massimo ordine mancante nel punto 

 di W. inferiore all'ordine esistente 2k -f- 1 è minore di 2k (essendo eguale 

 a 4-i -f- 1) onde 2k è un ordine esistente corrispondente a una g'^ 1 com- 

 pleta con un punto 2k u $ l ° nel punto di W. non fisso. L'esistenza di questa 

 ^2,7 4 indica che un gruppo generico della g%&\ per il punto di W. lo con- 



(') Notiamo per la chiarezza del testo che con le parole ordini mancanti nel punto 

 di T7, intendiamo gli ordini delle p serie complete d'ordine m con un punto m u v l ° nel 

 punto di W. eh? hanno in esso un punto fìsso (gli ordini mancanti sono p pel Ltìskensatz 

 di Weierstrass). Questi ordini mancanti nel punto di W. sono evidentemente l'unità e i 

 numeri i cresciuti ognuno di un'unità (V. Segre, Introduzione alla geometria, ecc. Annali 

 di Matematica, t. XXII, pag. 91). Gli ordini delie s«rie complete d'ordine m con un punto 

 m wpio non fisso ne j p un to di W. li chiamiamo invece ordini esistenti.] 



