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tiene come punto semplice, d'onde segue che detta g% k -t-i non può essere 

 composta. 



Possiamo dunque dire in generale: 



L'ipotesi che nel punto di W. una delle i k (k = 1 , 2 . . . p — 3) abbia 

 il valore 2k — f- 1 trae seco di necessità l'esistenza sulla curva data di una 

 serie completa (speciale) sema punti fissi d'ordine (2k -J- 1) e dimensione k 

 con un punto (2k -\- ] ) u v Xo nel punto di W. che non può essere in nessun 

 caso composta. Ma allora per k ^> 1 possiamo applicare a questa serie un 

 teorema di Castelnuovo (') riguardante il massimo genere di una curva conte- 

 nente una g r n (r > 1) qualunque, purché non composta. Questa formula è, chia- 



J2 2 



mando X la parte intera di : 



r — 1 



B) ;j < X j n — r — X ~ 1 (r — 1 



n 2 9 k 1 1 



Per la nostra q'; k+1 è = — — = 2 + — e per k > 2 



r — 1 k — 1 k — 1 



è X = 2, mentre per k — 2 è X = 3. Distinguiamo i due casi. Supponiamo 



dapprima k > 2 , allora si ha p <. k -)- 3 ossia k ^p — 3 , ovvero solo per 



k —p — 3 (chè k non va per ipotesi oltre questo numero) si può supporre 



i k = 2k -\~ 1 , per valori di k maggiori di 2 e minori di p — 3 dev'essere 



4 diverso da 2k -j- 1 , ossia minore di questo numero almeno di un'unità. 



Supponiamo ora k = 2 , si ha allora X = 3 e la B) diventa : p <. 6 , 



onde per p ^> 6 non può essere U = 5 , ma dev'essere i 2 <C 5. Concludiamo 



dunque che, se p >• 6 pei numeri i k da k = 2 a k = p — 4 si hanno le 



seguenti limitazioni : 



C) i k <2k per k = 2, 3 ... p — 4. 



Confrontandole con le limitazioni A) del Segre si vede che il limite superiore 

 di W dato da questi viene così abbassato di p — 5 unità, si ha cioè : 



D) W ^-l) (?-2) _ p + 6j 



Per p <. 6 essendo p — 3^3 le limitazioni di sopra non valgono. Si può 

 però egualmente per p = 5 e p = 6 nuovamente abbassare il limite del Segre 

 per W applicando un teorema di Hurwitz. Il teorema è il seguente: Se a 



e /S sono due ordini esistenti esiste anch'esso ( 2 ). Ora basta notare 



(J) G. Castelnuovo, Sui multipli di una serie lineare, ecc. Rendiconti del Circolo 

 Matematico di Palermo, 1893. 



( 2 ) Per via geometrica la dimostrazione è ovvia. Basta osservare che se g a e g$ sono 

 due serie complete che hanno nel punto considerato un punto rispettivamente a u v l ° e 



