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tegrale di Fourier rispetto ad / ed avente, rispetto a quest'ultima varia- 

 bile, derivate finite. Si potrà allora porre 



_l_ 00 _ 



(4) e(l,ip) = e 2 ]T m [e m (l) cos mip + O m (l) sen vmf\ , 



0 



e ne verrà che, per l = — oo , le 0 m ,6 m si annulleranno come e 2 almeno 



e, per / = -J- x> , come e 2 almeno. Com' è noto, la funzione armonica e 

 regolare nell' interno del cono che acquista in superfìcie i valori (4), sarà 

 rappresentata dalla formola 



(5) — 2. J*,/ ■( di [O m (Q) cos mxfj + 0 W (?) sen t»^] cos — (0 d?, 



^■'f o J —co Ji-m^o i .-/— oo 



dove K m (t , 0 = (1 — * 8 )* dn ^ a) e K 0 (* , f) = K{t , i) è la nota fun- 



zione di Mehler, la quale è definita, a meno di un fattore costante, come 

 l' integrale dell'equazione 



che, per t = -j- 1 e per ogni valore di i, è finito. Il fattore costante si sceglie 

 in modo che sia 



= i + <* + D 1=-' 4 <*'' + ^T + 3 '> ^ + • v 



(4^2 -|_ i) (a* -j- 3 2 ) . . . (4^ -f (2r — l) 2 ) (1 — t f 

 ' (r!) 2 2 3r ^ 



e dove il simbolo F è il solito simbolo della serie ipergeometrica. 

 2. Per risolvere ora il nostro problema poniamo: 



(6) J." ^ = ¥7 ?» L, K4^) * x 



r+oo 



X cos m.V + u m (g) sen cos — q) dg 



•J —co 



i r da , ir dG } . . , , 



e valgano per - — I v -r— da' , - — w — aff le espressioni analoghe che si 



*±7X J (j (tYl *±Tt sJ $ (III 



ottengono dalla precedente ponendo, al posto di u m {q) , u m (Q), rispettivamente : 



