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sioni (12) di w l ed w 3 si riconosce inoltre che esse sono funzioni regolari 

 per Qi 5; R e periodiche in 6 ; essendo inoltre «i funzione dispari di 0, 

 mentre w 3 è pari, si deve poter sviluppare in serie di seni, ed w 3 in 

 serie di coseni. 



Per questo si osservi che, posto t = W -\- qI-\- m 2 X z , si ha per ^>i>R, 

 qualunque sia 6 variabile fra 0 e 2n , lo sviluppo : 



sen(A — 0) [t — 2Rg l cos(A — 0)J~ * — sen {X -f 0) [t — 2R?j cos(A -j-6)y^ = 



=l„(- i )(-i)»(B e ,)-^-".i(:)x 



X [sen (X — 0) . cos(ft — 2s) (X — 0) — sen (X -f 0) cos (n — 2s) (X -f- 0)] 



00 



= 2 ^ (A„ +2 — A n ) cos n X . sen n 0 



71=1 



avendo posto 



(i3) a„ = i ( w ~ 1 + 2r ) ( w _t* 2r )<- ir- ,+2> - {m^$i*jr u -^ 



Analogamente si trova 



cos (A — 6)[t — 2%! cos(A — 0)]~^ -f cos(A + 0) [t — 2R^ cos(A + 6i)] _ ^= 



00 



= 2A 2 -\-2^_ (A n +2 + A n ) cos nX . cos nO. 

 Si ricordi ora che per una notevole forinola di Sonin (') si ha 



i (TO^'^2^^^) 11 ^^' 



quindi anche 



^nnX T -|- 



U % n ^-\ J 0 (m 2 P + R* -i- ? f)"+ 2 »-i 



2 «+2r-| r ^ _^ 2r — |) 



jj— n— 2r-t-l j 2 



1 \ m 



(') Nielsen, Handbuch der Theorie der Cylinderfunctionen, Leipzig, 1904, pag. 221. 



