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10 dimostrai invece che coi numeri transfiniti di Cantor non si pnò co- 

 struire una geometria non archimedea, e perciò non è possibile costruire con 

 questi numeri un segmento infinitesimo attuale. Ma ho esplicitamente rile- 

 vato nell' introduzione stessa, ed anche in altre pubblicazioni, che i miei 

 numeri infiniti e infinitesimi attuali, sono di natura affatto diversa da quelli 

 del sig. Cantor ('). E mentre io seguii il metodo sintetico nulla ammet- 

 tendo di noto, il Levi-Civita, nel 1893 e poi nel 1898 ( 2 ), svolse, comple- 

 tandola, la teoria dei miei numeri partendo da concetti puramente aritmetici 

 valendosi per la loro costruzione dei numeri reali ordinari. Ebbene, il Poin- 

 caré in una relazione sull'opera: Grundlagen der Geometrie dell'Hilbert, 

 pubblicata nel 1899, scritta in occasione del conferimento del premio Lo- 

 batschewsky ( 3 ) esprime dei giudizi sulla mia teoria e sulla priorità della 

 geometria non archimedea che non sono esatti. E sebbene di qualche critica 

 e di qualche recensione ( 4 ) non mi sia occupato, pure è tanta l'ammirazione 

 che ho dell'illustre matematico francese, Socio di questa nostra Accademia, 

 e tale è la sua autorità, che non posso tacere, tanto più che questi giudizi sono 

 stati riportati anche dall' Halsted, matematico americano, ben noto per i 

 suoi lavori sui principi della geometria. Non posso dunque lasciare che tali 

 giudizi si divulghino e danneggino l'opera mia, per quanto modesta essa sia. 



11 Poincaré a pag. 3 della sua relazione dice: 



« Enfin je dois citer le livre de M. Veronese sur les fondements de la 

 « geometrie où l'auteur applique pour la première fois à la géométrie les 

 « nombres transfinis de Cantor » . 



E a pag. 14 e seguenti: 



« Mais la conception la plus originale de M. Hilbert c'est celle de la 

 « Céométrie non archimédienne, où tous les axiomes restent vrais, sauf celui 

 « d'Archimède. Pour celle il fallait d'abord construire un système de nombres 

 « non archimédiens c'est-à-dire un système d'éléments entre lesquels on pùt 

 « conceroir des relations d'égalité et d'inégalité et auxquels on pùt appli- 

 « quer des opérations correspondant à l'addition et à la multiplication arithmé- 

 * tique 



(M L. c. 



( 2 ) Sugli infiniti ed infinitesimi attuali quali elementi analitici. Atti E. Istituto 

 Veneto, 1903. Sui numeri transfiniti. Rend. R. Acc. Lincei, 1° seni. 1898. 



( 3 ) Rapport sur les travaux de M. Hilbert, Kazan 1904. Questa relazione mi fu 

 favorita recentemente dal prof. Wassilief di Kazan. 



( 4 ) Così non mi sono occupato ad es. della recensione di poche righe stampata nel- 

 YEncyklopàdie der Mathematik, nella quale il sig. Schoenflies ripete dei dubbi ai quali 

 era stato risposto da me e dal Levi-Civita in questi Rendiconti (1898), e nella quale egli 

 insiste a voler distinguere nei suoi dubbi la teoria del Levi-Civita dalla mia, mentre il 

 Levi-Civita stesso non riconosce una tale distinzione. 



