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« On voit quelle est la portée de cette invention et en quoi elle con- 

 « stitue dans la marche de nos idées un pas presque aussi hardi que celui 

 « que Lobatschewsky nous a fait faire ; la geometrie non euclidienne respec- 

 « tait pour ainsi dire notre conception qualitative du continu géométrique 

 * tout en bouleversant nos idées sur la mesure de ce continu. La geometrie 

 « non archimédienne détruit cette conception, elle dissèque le continu poni- 

 li y introduire des éléments nouveaux. 



« Dans cette conception si audacieuse Hilbert avait eu un précurseur. 

 « Dans ses fondements de la geometrie Veronese avait eu une idée analogue. 

 « Le chapitre VI de son introduction est le développement d'une véritable 

 « aritbmétique et d'une véritable géométrie non-archimédiennes où les 

 « nombres transfinis de Cantor jouent un ròte prépondérant. Toutefois par 

 « l'élégance et la simplicité de son exposition, par la profondeur de ses vues 

 « pbilosophiques, par le parti quii a tiré de l'idée fondamentale, Hilbert a 

 « bien fait sa cboso de la nouvelle géométrie » . 



Da quanto ho sopra esposto risulta invece che non solo i numeri transfi- 

 niti di Cantor non hanno un ufficio preponderante nella mia teoria, ma che 

 anzi i miei numeri sono di natura affatto diversa. Nella mia introduzione 

 vi è, è vero, un paragrafo nel quale ho trattato dei numeri di Gr. Cantor, ma 

 l' ho scritto appunto per far rilevare la differenza delle due teorie e l'errore 

 in cui era caduto il Cantor affermando l' impossibilità del segmento infini- 

 tesimo attuale. 



La priorità poi della geometria non archimedea debbo reclamarla intera. 

 La mia geometria è più completa di quella dell' Hilbert, il quale, nella prima 

 edizione nelle sue G-rundlagen, chiama assioma della continuità il postulato 

 d'Archimede, e nella seconda edizione e nella traduzione francese vi aggiunse 

 un altro assioma (detto der Vollstàndigkeit) che corrisponde appunto per la 

 retta con quello di Archimede al postulato del continuo di Dedekind. In ciò 

 esiste una sostanziale diversità nell' interpretazione del continuo tra me e il 

 sig. Hilbert, perchè per me l'assioma d'Archimede non è quello della con- 

 tinuità, anzi io ho reso questo indipendente dal primo, sì da costruire una 

 geometria continua non archimedea ( 1 ). E in questo senso panni interpreti 

 il continuo anche il Poincaré colle parole sopra citate. Ma v'ha di più. Il 

 sig. dott. Bindoni pubblicò nel 190U in questi Rendiconti una Nota nella 

 quale fece vedere come si possano mettere i miei numeri sotto la forma 

 funzionale di quelli dell' Hilbert, onde trasse la conclusione che la geometria 

 delt Hilbert è una farle della mia. 



Riconosco non solo il valore ma anche l'eleganza e la semplicità della 

 esposizione di Hilbert; bisogna porre mente però nel confronto dei metodi, 

 che io non volli avere a mia disposizione le risorse dell'analisi, costruendo le 



(!) Yeggasi anche II postulato della continuità. Questi Rendiconti, 2° sem. 1897. 



