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prime forme matematiche, ed anche gli infiniti e infinitesimi, partendo invece 

 da alcuni fatti e operazioni semplicissime del pensiero logico, e scomponendo, 

 più che mi fu possibile, i vari concetti, senza far uso di alcun algoritmo 

 già noto. È da notare inoltre che scopo primo, se non il principale, dei miei 

 Fondamenti, dopo la pubblicazione del mio lavoro sugli iperspazi fu quello 

 di stabilire i principi della geometria del mio spazio generale (che ha un 

 numero infinito di dimensioni) per via puramente sintetica, come quelli della 

 geometria ordinaria. È naturale dunque che per le molte questioni in essi 

 trattate e per il metodo seguito, forse più filosofico di altri perchè più con- 

 forme alla natura delle cose, il libro riuscisse voluminoso e poco elegante. 

 È anche vero però che mentre analisti insigni convengono che il metodo 

 migliore per trattare i principi della geometria è quello sintetico ( 2 ), avviene 

 poi che questo metodo è il più trascurato ( 3 ). 



Un'altra cosa desidero far rilevare, in cui panni discostarmi dai signori 

 Poincaré ed Hilbert, i quali, trattando la geometria più con le vedute del- 

 l'analisi che con quelle dell' intuizione spaziale, sono portati a dare alla geo- 

 metria un'estensione maggiore di quella che secondo l'intuizione essa possa 

 e debba avere. 



L'introduzione dei miei Fondamenti è una parte dell'Ausdehnungslehre, 

 ossia la teoria dei gruppi di elementi trattati col metodo sintetico astratto. 

 In questa teoria ogni ipotesi matematicamente possibile è ammissibile e dà 

 luogo a nuove forme; ma non sempre a queste forme corrispondono delle 

 forme geometriche. 



Nella prefazione dei Fondamenti, e negli Elementi e altrove ( 4 ), ho sta- 

 bilito quali sono, a mio avviso, i caratteri degli assiomi e dei postulati geo- 

 metrici. E ripeto anche qui che per me i veri assiomi sono quelle proposi- 

 zioni che valgono nel campo limitato della nostra osservazione esterna, ed 

 anche quando tali proposizioni si estendono allo spazio illimitato (che non 

 possiamo osservare) bisogna dimostrare che tale estensione è matematicamente 

 possibile. Vi sono invece proposizioni (propriamente postulati) le quali non 

 contraddicono ai precedenti assiomi, nè si contraddicono fra loro, e che pure 

 sono geometricamente ammissibili. Tali sono ad esempio le varie forme del 

 postulato del continuo sotto la forma data da Dedekind o sotto quella data 

 da me indipendentemente dall'assioma d'Archimede, i postulati che servono 

 a costruire gli spazi superiori, ecc. che servono a completare o a limitare il 



( l ) Behandlung der project. Verhàltnisse der Ràume voti Mehreren Dui, etc. Math. 

 Annalen, 1881. 



( z ) Vedi pref. dei Fondamenti. 



( 3 ) È noto ad es. la sorte toccata per questo all'Ausdehnungslehre del 1844 del 

 Grassmann. 



( 4 ) Les postulats de la géorn. dans Venseignement. (trad. par Duporcq et Brocard). 

 Atti del Congresso mat. intera, di Parigi 1900. 



