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Meccanica celeste. — Reiasioni fra i momenti di inerzia di 

 un corpo del quale la funzione potenziale è simmetrica intorno 

 ad un asse. Nota del Corrispondente P. Pizzetti. 



1. È ben noto come la espressione della funzione potenziale esterna di 

 un pianeta sia perfettamente determinata quando sia data la massa totale M 

 e sia pure assegnata una superficie S di equilibrio, esteriore alla massa, 

 vogliamo dire una superficie chiusa in ogni punto della quale la normale 

 interna segni la direzione della gravità nel punto stesso, ossia della risul- 

 tante della forza attrattiva del pianeta e della così detta forza centrifuga 

 dovuta al moto di rotazione del pianeta. 



E sebbene la determinazione di quella funzione potenziale, all'esterno 

 di S, avvenga indipendentemente da ogni particolare ipotesi intorno al modo 

 di distribuzione della massa nell' interno del pianeta, epperò, reciprocamente, 

 nè la conoscenza della detta superficie d'equilibrio, nè la valutazione speri- 

 mentale della gravità siano dati sufficienti per assegnare la formula 



k = k(a ,b,c) 



che esprime la densità k nel punto interno (a , b , c), è chiaro tuttavia che 

 quei dati debbono pur servire a stabilire qualche limitazione, ossia delle 

 equazioni di condizioni cui la funzione k (a,b ,c) deve soddisfare. 



Così, nella ipotesi che di solito si ammette per la nostra Terra, cioè 

 che un ellissoide di rotazione schiacciato rappresenti una delle superficie di 

 equilibrio esterne, si dimostra che il modo di distribuzione interna della 

 massa deve essere tale, che le seguenti due condizioni siano soddisfatte: 

 1° che il centro di tutta la massa coincida col centro di figura dell'ellis- 

 soide; 2° che l'asse di rotazione del pianeta sia asse principale d'inerzia e 

 che gli altri due assi principali d'inerzia siano fra loro eguali. 



Ora queste due conseguenze della ipotesi sferoidica vengono di solito 

 dimostrate partendo da valutazioni approssimate della funzione potenziale 

 esterna; esse hanno quindi l'aspetto di conclusioni approssimate. Vogliamo 

 qui dimostrare come quelle proprietà siano invece esatte e necessarie con- 

 seguenze della ipotesi che la superficie di equilibrio assegnata è di rivolu- 

 zione intorno all'asse della rotazione diurna ed è simmetrica rispetto ad un 

 piano normale all'asse (equatore). E vogliamo, più generalmente, cercare le 

 relazioni che fra i momenti di inerzia di grado superiore al 2° si deducono 

 dalla ora detta ipotesi. 



