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Poiché la funzione potenziale della forza centrifuga — (x 2 -j- y 2 ) (indi- 



a 



cata con co la velocità angolare) è simmetrica rispetto all'asse (s) ed è in- 

 dipendente dalla coordinata s, è ben chiaro che, nella ipotesi ora detta 

 (dell'essere la superficie S di rivoluzione attorno all'asse z e simmetrica ri- 

 spetto al piano x y), anche la funzione potenziale dell'attrazione V dovrà 

 godere delle due simmetrie intorno all'asse * e rispetto al piano x y . 



Sicché, senza più tener conto della rotazione, la nostra ricerca si riduce 

 a quella di trovare quali relazioni debbano esistere fra i momenti di inerzia 

 di grado qualsiasi di un corpo, affinchè la funzione potenziale esterna di esso 

 sia simmetrica intorno ad un asse, e rispetto ad un piano normale all'asse. 



2. Siano a , b , c le coordinate cartesiane di un elemento dr di volume 

 di un corpo, k la densità nel punto (a , b , c) ; x , y , s le coordinate di un punto 



esteriore P. Sian poi r' ,6' , v' coordinate polari di dz , ed - , 6 , v quelle 



di P definite dalle relazioni 



a = r' sen 6' cos v' x == - sen 0 cos v 



u 



(1) ^b = r' sen 6' cos v' y = ^SQn6senv 



c = r'cosd' z—- costì. 



u 



Posto 



g = cos 0 cos 6' -f- sen 6 sen 6' cos(v' — v) , 



la funzione potenziale del corpo sul punto P è 



r k . dt 



V = u \ 



J \l \-\-u 2 r' 1 — 2r' uff 



ove l' integrale (come avverrà dei seguenti) è esteso a tutto il corpo. Se 

 chiamiamo q' m la massima distanza dei punti del corpo dall'origine delle 



coordinate, allora per tutti i valori positivi di u inferiori ad Resiste lo 

 sviluppo 



(2) V = "fV +1 I r' n . P M , k , d% 



;ì=0 J 



dove P„ è il polinomio di grado n di Legendre, 



1.8.5... (2«- l)( »(n- l) 



ni \ 2.(2n-l)° + 



(8) , n(n — l) (n-2)(n - 4) ) 



2A(2n— l)(2n — 3) "')' 



