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Per n = 3 , osservando che 2P 3 = 5c 3 — 3c , ove per a si ponga la 

 espressione (5), si trova facilmente che, perchè l'integrale 



r' . P 3 . k . dx 



sia indipendente da v bisogna e basta che le seguenti sei relazioni passino 

 fra i momenti di 3° grado 



la*J= 3 [aè 2 ] = 3 [> 2 ] , 

 [P] = 3 O 2 ] = 3 O 2 ] , 

 [a 2 e] = [b*c] , \_abc] = 0. 



La ipotesi della simmetria rispetto al piano x y dà luogo a quest'altra 

 condizione 



[ C 3] = 3 . 



3. Per valori di n superiore a 3, la sostituzione diretta della espres- 

 sione (5) in (3), e quindi in (4) e la ricerca delle condizioni di indipen- 

 denza da v riescono laboriose. Conviene invece ricorrere alla espressione di 

 P„ pei coseni e i seni degli archi multipli di v; la quale espressione è ( J ). 



9 P w = M w .N n + 2 Y , '. j ir — -, — f eoa {tv — zv'). 



ti(n — i -j- 1) ... (n -f- i) d\i x dv % 



È qui indicato con M n N„ ciò che diventa P w (formula 3) quando vi 

 si pongano le lettere fi e v rispettivamente in luogo della <r, e si intende 

 che dopo eseguite le operazioni indicate nella (9), si ponga 



{jb==COS0 , v = costì'. 



Sostituendo 1' espressione (9) di P„ nella (4), abbiam per ogni valore 

 di n le seguenti 2n equazioni 



sen 1 0' , cos iv' .k.dz = 0 



flv 1 



(10) r n (r=.l,,.2,...rc) 



r 



J id. id. sen iv' .k.dr = Q 



In particolare per i — w, la derivata rc ma della N M riducendosi ad una 

 costante le (10) sommate, dopo aver moltiplicata la seconda per ]/ — 1 

 dànno 



Jr' n sen n 0'(cos v' + f sen v'f .k.dr , 



(') V. p. es. Tisserand, ce7., II, pag. 274. 



