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Nessuna condizione nuova, per n = 4, è introdotta dalla ipotesi della 

 simmetria rispetto al piano xy. 



4. La ipotesi della simmetria della f e p e V intorno all'asse $ conduce 

 pertanto a 2n equazioni di condizione fra i momenti di inerzia di grado n. 



Interessa di paragonare queste condizioni, con quelle, naturalmente assai 

 più restrittive, che si deducono dalla ipotesi che la massa sìa effettivamente 

 distribuita simmetricamente intorno all'asse g, ossia che la densità k sia 

 indipendente da v'. 



In questa ipotesi, posto 



a = q cos v' b = q sen v' 

 nell'integrale (8), l'espressione 



^|V +S cosr v ' • senS v' é .k.dx (r -\- s -\- 1 = n) 



(ove k non dipende da v') resterà invariata col dare a v' un incremento ar- 

 bitrario. Per questo bisogna, e basta, che 



s JV +S cos^ 1 6 sen 8 - 1 6 . é . k . dz = r J? r+S cos r - 1 e . sen s+1 . 6 . à . k . di 

 ossia che 



(13) s [> r+1 b*- 1 e 1 ] = r [_a r ~ l b s+1 <?'] . 



Per s = 0 si trova 



[a 1 *- 1 4^ = 0 (u-\-i = n) 



e così generalmente si trovano nulli tutti quei momenti di inerzia nei quali 

 uno o entrambi gli esponenti di a , b sono dispari ; il che è un'ovvia con- 

 seguenza della ipotesi sulla distribuzione della massa. 



Posto in generale r -f- s ■— ■ u, per dati valori di u e di t, le condizioni 

 (13) sono in numero di u-\-l se u è dispari ed esprimono che tutti i mo- 



menti si annullano. Se u è pari le (13) sono in numero di ^ ; di esse, - 



ù 



esprimono l'annullarsi di quei momenti ove a e b hanno esponenti di- 

 spari, le altre - stabiliscono relazioni fra i rimanenti momenti di inerzia. 



Li 



Così per u = 4 , t = 1 le condizioni sono 



la 3 bcj=[_ab ì c'] = 0 

 [i 4 c];==3[W«] = ^].; 



