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torno al centro non può dar luogo ad una funzione potenziale simmetrica 

 intorno all'asse del disco. 



Infatti, quando la massa attirante sia tutta distribuita nel piano ay, 



dovremo nelle forinole (10) porre 6' — - - . Ed osservando che la espressione 



Li 



——- (v = COS ti ) 



dv x ' • v / 



per v = 0 , si riduce a zero o ad una costante differente da zero, a seconda 

 che n — i è dispari o pari, la l a della (10) darà 



(15) jt 



r' n . cos ì v' . k . dr — 0 



per tutti i valori interi e positivi di n e per tutti i valori interi, positivi 

 e pari di n — i. La (15) può anche scriversi 



(16) j' r ' m+!ss _ cog mv' . k . dr = 0 



per tutti i valori interi e positivi di m e di s. Ora la densità k può espri- 

 mersi colla serie di Fourier 



00 00_ 



k = a 0 -{-^_a m cosmv' -j- ^_ b m senwy' 



dove a 0 a m b m sono funzioni finite di r'. Sostituendo questa espressione nella 

 (16) e ponendo d% = r' . dv dr' ; si ottiene, colla integrazione, rispetto a 

 v' , fra i limiti 0 e 2n : 



(17) 



W+1+2S , 



. a m dr = 0 



dove E è il massimo valore di r'. Questa, dovendo essere verificata per ogni 

 valore intero e positivo di s , esige che Siti ÙfYl = 0 ('). Similmente si dimostra 

 che b m = 0 ; per modo che la k risulta funzione soltanto di r', ossia la 

 distribuzione della massa deve essere simmetrica rispetto al centro, come 

 si voleva dimostrare. 



(') È facile dimostrare che, affinchè si abbia 



m-t-2s 



x f(x)dx 



a 



(dove i limiti a e b non siano di segno diverso) per tutti i valori interi e positivi di s, 

 è necessario che la f(x) sia identicamente nulla nell'intervallo (a , b) eccettuati tutt'al più 

 quei punti dell'intervallo stesso nei quali la funzione f presentasse delle discontinuità. 



