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« I gruppi misurabili B sono tutti quelli che si ottengono applicando 

 « le operazioni I e II sui gruppi fondamentali B e su quelli che così via 

 « via si ottengono ». 



Consegue che: 



« Applicando le operazioni I e II su gruppi misurabili B si hanno 

 « gruppi misurabili B » ('). 



Ora facciamo la seguente importante osservazione: 

 Una proposizione relativa ad un gruppo sarà dimostrata per tutti i 

 gruppi misurabili B se sarà vera per ogni gruppo fondamentale B e se 

 si prova che, nell'ipotesi che sia vera per una famiglia di gruppi, è vera 

 per ogni gruppo che si ottiene applicando a gruppi di quella famiglia 

 le operazioni I e IL 



2. Sia f una funzione e siano p e q due numeri reali e p <iq. 

 Indicheremo con ]f\j la funzione uguale ad f nei punti in cui p^f <q, 



ed uguale a p nei punti in cui f<Cp, ed uguale a q nei punti in cui f^>q. 



Noi vogliamo dimostrare che « se f è una funzione di Baire anche 

 « la )f\l è una funzione di Baire ». 



Il teorema è manifestamente vero se / è di classe 0, perchè se f è 

 continua lo è pure la )f[ q p . Per dimostrarlo in generale basterà che noi pro- 

 viamo che se è vero per ogni funzione f di classe minore di v (v essendo 

 il tipo ordinale di un gruppo bene ordinato finito o numerabile) è vero pure 

 per ogni funzione di classe v. 



Supponiamo adunque che il teorema sia vero per ogni funzione di classe 

 minore di r e sia / una funzione di classe v. 



La / è limite di una successione di funzioni ciascuna di classe mi- 

 nore di v: 



A i A >••■/«" ■ 



Le funzioni 



]AMA(|,. ...... 



sono dunque tutte funzioni di Baire. 



Inoltre esse convergono manifestamente verso \f\ q p , dunque \ f\ q p è una 

 funzione di Baire. 



Osservazione. Il metodo di dimostrazione ci porterebbe anche a pro- 

 vare che se f è di classe v, la \f\ q è di classe v o minore. Ma ciò ora a 

 noi non interessa. 



3. Ora mi propongo di dimostrare che: 



Se (a ,b) è un intervallo, se G è un gruppo di punti di (a , b) misu- 

 rabile B e se m ed n sono due numeri reali, la funzione f che è uguale 



(') Enuncio questa proposizione specialmente per chiarire il senso della definizione 

 precedente. 



