— 367 - 



ad m nei punti di G ed uguale ad n nei rimanenti punti di (a , b) è una 

 funzione di Saire. 



La dimostrazione è suggerita dall'osservazione che chiude il § 1. Se G 

 è un gruppo fondamentale B, la f ha al massimo due punti di discontinuità 

 e quindi è certo una funzione di Baire. Supponiamo ora che il teorema sia 

 vero per una famiglia F di gruppi. Io dico che è vero per ogni gruppo che 

 si ottiene applicando le operazioni I e II sui gruppi di F . 



Siano Gì e G 2 due gruppi di F. Sia /, la funzione uguale ad m in G x 

 e zero nei rimanenti punti, ed f 2 la funzione uguale ad m in G 2 e zero 

 nei rimanenti punti. La funzione fi -j- f% è 2m nei punti comuni a Gì e G 2 

 è m nei punti appartenenti ad uno solo di questi gruppi ed è nulla nei 

 rimanenti. La funzione y> uguale ad ]f { -j- f 2 \f se m > 0 od a \f x -\- f 2 \° m 

 se m <C 0 è uguale ad m nei punti di Gì -f- G 2 e nulla nei rimanenti. Inoltre, 

 essendo le fi , f 2 funzioni di Baire, anche y> è una funzione di Baire. Così 



fi 



pure m — y> è una funzione di Baire ed anche la funzione ip= — (m — <p). 



La ip è nulla nei punti di Gì -f- G 2 ed uguale ad n nei rimanenti, e 

 quindi la funzione / uguale ad m nei punti di G! -j- G 2 e ad n nei rima- 

 nenti, è la somma di g> e tfj e perciò è una funzione di Baire. Di qui segue 

 subito che se 



Gì , G 2 , . . . G r 



sono r gruppi di F, la funzione uguale ad m nei punti di 



Gì -f~ &2 + ' • ' + G> 

 e ad n nei rimanenti è una funzione di Baire. Ancora: se 



Gì , G 2 , . . . Gf ... 



è un gruppo numerabile di gruppi di F, le funzioni f r uguali ad m nei 

 punti di Gì -f- G 2 -}-••• -|- G r e ad n nei rimanenti sono funzioni di Baire 

 formanti una successione che tende alla funzione / che è m nei punti di 



Gri + G 2 -|- • — j- G r -f- • • • 



ed n nei rimanenti. Questa f è dunque una funzione di Baire. Si può così 

 dire che applicando ad F l'operazione I si ottengono gruppi pei quali vale 

 il teorema. 



L'operazione II applicata a F si riduce alla I applicata ai complemen- 

 tari dei gruppi di F , pei quali vale il teorema. Dunque il teorema vale 

 anche pei gruppi che si ottengono da F applicando l'operazione II. 



Il teorema è così dimostrato. 



4. Se un intervallo (a ,b) è diviso in una famiglia di gruppi misu- 

 rabili B {costituita da un numero finito o numerabile di gruppi) e se a 



