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insieme alle derivate, che occorre considerare, nel campo in cui studieremo 

 la nostra equazione. Si suppone b Tl7 . 2 ... Vm — 1. 



I metodi, che noi svolgeremo, si possono applicare se le b soddisfano a 

 certe relazioni, che noi determineremo più sotto, e se di più le X (molti- 

 plicate, caso mai, per convenienti fattori) sono a due a due permutabili e 

 sono di più a n a n linearmente indipendenti. Quest'ultima condizione non 

 è essenziale, e si può spesso trascurare; quanto all'altra condizione che 

 le X; siano a due a due permutabili, essa si può, in qualche caso, sosti- 

 tuire con la condizione che tra le Xi , X 2 . . . , ~K m ne esistano n linearmente 

 indipendenti X, , X 2 , . . . , X„ a due a due permutabili, e che sussistano re- 

 lazioni del tipo 



(Xi X») = l ih Xi — X ki X 1t (i = 1 , 2 , . . . , m ; k = 1 , 2 , . . . , n) 



dove le A sono funzioni regolari nel campo, che si considera. Queste equa- 

 zioni ci esprimono il fatto che, se noi dai punti di una traiettoria della X, 

 tiriamo le corrispondenti traiettorie della ~K k , la superficie così ottenuta con- 

 tiene oo 1 traiettorie della Xé . Anche a queste equazioni più generali si può, 

 con poche modificazioni, applicare il metodo di Riemann, che più sotto espor- 

 remo; il metodo delle approssimazioni successive di Picard non pare invece 

 sempre applicabile, per quanto esso sia di riuscita sicura per classi particolari 

 di tali equazioni: quelle p. es. che hanno coefficienti analitici (Le Roux e 

 Delassus, loc. cit.). 



I metodi, che qui studieremo, si applicano infine anche ai sistemi di 

 equazioni del tipo (1). 



In questa Nota cercherò soltanto di mettere in rilievo i fatti nuovi, 

 che si presentano in questo ordine di ricerche, rimandando per maggiori par- 

 ticolari alle Memorie citate, e in particolare a quella del prof. Niccoletti, 

 che riassume anche i risultati del prof. Bianchi. Supporrò quindi senz'altro 

 n = 3, le X, a due a due permutabili e a tre a tre linearmente indipen- 

 denti. Potrò dunque supporre scelte le variabili %i , x% , x 3 in guisa che sia 



~ì) ~ò ~ò 



Xi=aa~ — + «,2 h^is dove le sono costanti, a n = « 22 — « 33 = 1, 



uX\ ~ì>%ì ~ò%z 



«12 = «21 = «13 = «31 — «23 = «32 = 0 . Sia F (u) = 0 la nostra equazione, 

 e sia <P (v) il polinomio aggiunto di P (u), determinato in guisa che 



yP (u) — u <P (y) sia uguale identicamente alla somma -f- — - -f- 5 , 



dove le quantità L, , L 2 , L 3 sono espressioni lineari tanto nella u e derivate, 

 quanto nella v e derivate. Anche il polinomio <P(v) sarà una espressione 

 del tipo (1). Con notazioni analoghe a quelle del prof. Bianchi, indicherò 



eon G^yV 3 quella espressione, che si ottiene, prendendo l'insieme dei ter- 



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