— 440 — 



mini di <Z> (v), che contengono la — e le sue derivate, e sosti- 



lòXfi ~ÒX/* 7># 3 a 



tuendovi v al posto di quella derivata - 1 . Sarà in particolare 



~òXi r i ~òx 2 r a 7)^3 3 



Ktl — Porrò poi = 0^% , = V?*S' , ecc. Per la forinola fon- 

 damentale di Bianchi-Niccoletti avremo: 



(2) vm _ xm = ^ + ^ + ^ 



Od/ 1 JiX 2 Ut* 3 



dove è 



(3) Ll = Zl + 2 à Zl2 + H Zl3 + 3 

 « analoghe. 



Si è posto in queste formule: 



Zx= X (-1/. ^--A W(v) ; Z„ = 



T-T,-T 3 T-Tj-Tj - r + r — t 



T-T2-T3 T-T1-T3 T-T2-T3 ~ r +r + i_3 



z 123 = Zìi ( -i)w>-3 f j; ' ' m r 



ecc. ecc., dove è t = x x -f~ T z -}-■■• -|- r m . 



Sia ora J una superficie e sia E una regione tale, che le rette uscenti 

 da un suo punto generico A coi coseni di direzione proporzionali ad ai x , 

 di2 , ai3 la incontrino in un punto e in un punto soltanto. Il metodo delle 

 approssimazioni successive dimostra che in K esiste ed è finito e continuo 

 insieme a tutte le derivate che occorre considerare un integrale u dell'equa- 

 zione F (w) = 0 , il quale su 2 assume valori prefìssati a piacere, insieme 

 alle sue derivate di ordine 1,2, ...t — 1. Basta a tal uopo che questi va- 

 lori dati su 2 siano scelti in modo compatibile. Sia A un punto di R ; le 

 parallele ai tre assi coordinati, condotte dal punto A , incontrino 2 in tre 

 punti A] , A 2 , A 3 . Supporremo che AA X , AA 2 , AA 3 siano orientate nel verso 

 positivo, e che le Xi , X 2 , X 3 siano state scelte in guisa che nessuna delle 

 a ll{ sia negativa. Supporremo che le « b » siano legate da alcune condizioni, 

 che si possono esprimere concisamente così: Nel tetraedro a base curva 

 AAj A 2 A 3 esiste una funzione ip(x 1 , x 2 , x 3 ) finita e continua, insieme alle 

 derivate di ordine 1,2,...,t — 1 la quale sui piani Xi = 0 soddisfa rispet- 

 tivamente alle equazioni #f = 0(f;< f-f i; — ^ — t 2 — t 3 ) e sugli assi 



