— 497 — 



si può portare (') la più generale operazione infinitesima del gruppo nella forma 

 (1) Xf=h ì R l2 + h 2 R 3i + ...-{-h r K ir— l ir ~\~ G-ir'-¥\ T 2 r'+l 



Se una operazione Xf è portata nella forma (1) o più generalmente 

 nella forma Xf — T_b h1t R ftft -f~ y_a 2r+i T 2r+i (b h n = — W , si vede chiara- 



hk < 2r i 



n-Zr 



mente che essa trasforma in sè gli S«_i di equazione s >_ct 2r+ iX 2r + i = c dove 



"i 



c è una costante arbitraria e le a 2r+i sono tali che 2a 2r +i ct 2r+i = 0 . E vice- 

 versa. Se quindi chiamiamo eliche le traiettorie di un gruppo ad un para- 

 metro di movimenti, perchè le eliche di Xf appartengano all'S n ambiente 

 e non ad uno spazio lineare subordinato, è necessario che non esistano S„_i 

 trasformati in sè da Xf e quindi che in (1) r sia il massimo intero contenuto 

 n 



in — - e che nessuno dei coefficienti h , a sia nullo. 



ò 



2. / gruppi a due parametri. — Ci proponiamo di mostrare che ogni 

 sottogruppo reale a due parametri del gruppo dei movimenti è abeliano. 

 Incominciamo dal trattare alcuni casi particolari. È bene evidente che la cosa 

 è vera se il gruppo è generato da due traslazioni. Supponiamo che il gruppo 

 sia generato da una traslazione e da una rotazione: supponiamo che la 



T 



rotazione sia portata nella forma (1) R — y hi R 2l _i 2l - e che la traslazione 



ì 



n 



sia T = yjii TV Siccome le traslazioni formano un sottogruppo invariante nel 

 i 



gruppo dei movimenti, sarà (RT) = qT. Ma l'equazione 



(R T) = (j_hi R 2! _, 2i fat Ti) = -W, k T 2i + fa 2i h T 2i _, = q t a ( T { 



\ i ì/i i T 



si spezza nelle altre 



h a 2i -i = qau hi a 2i = — ga 2i ^ (i <_ r) o = ga k (k > 2r) . 



Quindi o sarà ^ = 0 « 2i _ 1 = a 2i = 0 (i <C^)'- il gruppo sarà abeliano e 

 T non conterrà che indici >2r. Oppure dalle prime equazioni si dedurrà 

 q 2 = — 1 e quindi il gruppo non sarà reale. Quindi ogni gruppo reale ge- 

 nerato da una traslazione e da una rotazione è abeliano; se la rotazione è 



r n—ir 



della forma R == T/?; R 2i _i 2i la traslazione è della forma T = ^_ a 2r +i1 2r +i . 

 i i 



(*) Cfr. Bemporad, Sui gruppi dei movimenti, pag. 13. Annali della E. Scuola Nor- 

 male Sup. di Pisa, tomo IX, od anche Schoute, Le déplacement le plus général de Vespace 

 à n dimensione. Annales de l'Bcole Polytechnique de Delft, tomo VII, 1891. 



