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Supponiamo ora che il gruppo sia generato da due rotazioni R ed i?, ; 



ir 



supponiamo di più che R sia della forma (1): R = ^_hi R 2 i-i a e che sia 



i 



Ri = 2b h n Rfts {bhx = — b m , b hh = 0) . Se non è (R Ry) — qR sostituendo a 

 Ri una conveniente combinazione lineare di R e Rx si può supporre che si 

 abbia (RR 1 )=qR 1 . Ora 



(2) (R R^ = ^_hi buìj R2Ì-1 2j ~\~ ~y_hi bziìj-i Rat-i s#-i — b 2 i-i 2j K>2i2j — 



ij < r 



/c>2r 



(R Ri) non contiene quindi termini in R 2 ; 2 i_i e quindi non può essere uguale 

 a qR . Sia {RR^ =qR ì . Uguagliando i coefficienti di una stessa rotazione 

 in (2) ed in qRì si ottiene : 



/0 ,. \ hib 2 i2j hj ^2i-i2j-i = Qb 2 ì-\2j ... , 



(3) , , , 7 ? (ij <r) 



' m 0 2 i-\2j-\ — Hj Dìiij ■ — ■ — Q02i2j-\ 



, hi b 2 i2j-i -4- hj bìi-iìj = Qb2i—i 2 j-i ) , . . , 



(4) _ ,.[(!,;<. r) 



»i u 2i-\2j ~]~ lij U2i2j-\ Q0 2 i 2 j I 



(5) /ìì * 8ift = ?è 2 i-ift Ai bii-ih = — qb 2ìk (2 <. r , & > 2r) 



(6) 0 = j?^ (h,k> 2r) . 



Dalle (6) si deduce q = 0 0 b M( -=0 . Se ^ = 0 il gruppo è abeliano ; 

 le (5) ci dicono b 2 ni = b 2i _ xli = 0 (z <. r , # > 2r) : in jS, non esistono quindi 

 che operazioni R ftft con ambedue gli indici .< 2r od ambedue > 2r : potremo 

 porre i? ! = R[ -\- R[' . R[' sarà una qualunque combinazione lineare di ope- 

 razioni R ftft per cui h e k sono ^>2r. Quanto ad R[ esso potrà contenere le 

 operazioni R2,_ l2i con coefficienti qualunque ; le altre operazioni della forma 

 R 2i _ 12 j , R 2(2/ .- . . . (z , 7 r) dovranno avere coefficienti che soddisfacciano le 

 (3) , (4) che in questo caso divengono 



(3') ^ ! ^ 2i2 ^ — ^ b 2 i-i2j-i == 0 hi bnij-i -f- hj b 2 i-ì2j — 0 



hi ^2i— 1 2J— 1 hj b 2 i 2 j = 0 hi b 2 ì— Hj — }— Aj b 2 ì2j—\ — 0 



È ben evidente che questi due sistemi di equazioni non possono essere 

 soddisfatti che quando h t = =t hj . Quindi R[ oltre alle operazioni R 2! -i2j 

 potrà solo contenere le operazioni (R 2i2 j — Rs^^^) , (R 2 ,_ 12 j 5; R 2 i 2 j-i) e ciò 

 quando in sia A £ == =±= (si debbono prendere tutti i segni superiori 0 

 tutti i segni inferiori contemporaneamente). 



