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Se ^ non è 0, il gruppo non è reale. Ciò risulta evidente dalle (5) 

 quando non sia b ì(h = # 2l _i ft = 0 poiché allora si ha q % = — 1 . Se poi 

 bah — bzi-k = 0 , si consideri il sistema di equazioni lineari omogenee nelle 



formati dalle (3) e (4): affinchè questi coeffi- 

 cienti b non siano nulli, q deve essere soluzione dell'equazione 



0 = 



— Q 



0 



hi 



— hj 



0 



— Q 



hj 





— hi 



— hj 



— Q 



0 



hj 



hi 



0 



— e 



= e 4 + <? 2 (hi + hjY -f 



hi hj 

 hj hi 



Ora questa equazione ammette solo radici nulle od immaginarie (') ; 

 talché, se si richiede che il gruppo sia reale, non si potrà supporre che q = 0 . 

 Infine se fossero nulli tutti i coefficienti b 2ik # 2 i-ift ^2 ( -i2j b tit j . . . R t non po- 

 trebbe contenere che le operazioni R 2j -i2i per i <. r e le R, ifi per hk^>2r 

 e quindi Ri sarebbe permutabile con R. Concludiamo che il gruppo è an- 

 cora abeliano quando è formato da due rotazioni : se di più una delle rota- 

 zioni è della forma (1), la precedente discussione ci dà di quale forma deve 

 essere l'altra rotazione. 



Veniamo al caso generale. Siano Xf = R~\- T , X x f '.== Ri -f- Ti le 

 operazioni generatrici : si avrà (XXi) = aXf -\- $Xif. Ma (II,) = {R Ri) + 

 + [(•# T i) + (Tfii)!'- {RRi) è una rotazione, (R T t ) + ( T Ri) una trasla- 

 zione: quindi dovrà essere (RRi) = ccR -f- 0R l (R Ti) + ( T Ri) = aT -j- 

 -\- (ìTi. La prima equazione ci dice che R , Ri formano un gruppo, esso sarà 

 abeliano e quindi o sarà a = fi = 0 ed Xf , Xif genereranno esse pure un 

 gruppo abeliano, oppure sostituendo al più ad X\f la combinazione lineare 

 aXf-\-@Xif, si potrà supporre che sia Ri=0. Allora, essendo Xif una 

 traslazione Ti, si dovrà avere (XXi) = /? Xif ossia (RTi) = pTi'. quindi 

 R , Ti genereranno un gruppo che ancora dovrà essere abeliano, ed ancora 

 abeliano sarà il gruppo generato da Xf ed Xif . Il teorema è quindi dimo- 

 strato. 



3. Possiamo ad esso dare la forma seguente : Le superficie a due di- 

 mensioni immerse in uno spazio euclideo ad n dimensioni che ammettono 

 un gruppo a due parametri di movimenti dello spazio ambiente sono svi- 

 luppabili (a curvatura nulla) e le traiettorie del gruppo sono le geodetiche 

 della superficie. 



Non è questo che un caso particolare di un teorema del prof. Bianchi ( 2 ) 



(') Questa proprietà è vera per tutte quelle equazioni che si ottengono come la pre- 

 cedente sostituendo agli zeri della diagonale principale di un determinante emisimmetrico 

 l' incognita q ed uguagliando a 0 . 



(*) Bianchi, Sugli spazi a 3 dimensioni che ammettono un gruppo di movimenti. 

 Memorie della Società Italiana delle Scienze, 1898, § 15. 



