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per cui se uno spazio ad n dimensioni ammette un gruppo abeliano ad n pa- 

 rametri è a curvatura nulla e le traiettorie delle operazioni del gruppo rap- 

 presentano le geodetiche dello spazio. Nel nostro caso per quanto precede il 

 gruppo a due parametri di movimenti dello spazio ambiente è abeliano ; 

 quindi il teorema. 



4. Possiamo aggiungere alcune osservazioni circa le operazioni genera- 

 trici del gruppo. Supponiamo che Xf = R -f- T sia della forma (1). Dovrà 

 essere, posto, come prima, XJ= Ri -f- T x , {R R x ) = 0 (R T x ) + ( TR X ) = 0 ; 

 quindi, come risulta dalle discussioni del n. 2, Ri sarà della forma R[ -j- R" 

 dove R[ contiene soltanto indici <. 2r ed Ri solo indici >• 2r . D'altra parte 

 {R Ti) non può contenere che T, con indici <. 2r, (T Ri) — (TRI') non con- 

 tiene che Tj con indici >2r; affinchè (R Ti) -f- ( T Ri) = 0 deve essere partita- 

 mente (R Ti) = 0 (TRi) = 0. Per la prima equazione risulterà dalle discus- 

 sioni del n. 2 che Ti non contiene che indici >2r, poiché R è della forma (1). 

 Quindi R[' -f- Ti è una operazione che opera sulle sole variabili x% r +ù e con 

 un conveniente movimento su tali variabili, che non cambierà R x Ri e tra- 

 sformerà T di nuovo in una traslazione sulle x ìr +i: si potrà portare in forma 

 analoga alla forma (1), in cui cioè la traslazione e la rotazione non hanno 

 indici comuni : supponiamo che dopo ciò R" contenga solo gli indici <. 2r v 

 e Ti solo indici > 2r x (r, >. r) . Anche T non potrà allora contenere che in- 

 dici >2n, poiché (TR i ) = (TR'i') = 0. 



Cosicché, riassumendo, con un conveniente movimento noi potremo ri- 

 durre le operazioni generatrici del gruppo Xf=R-\- T, Xif — Ri -f- T x 

 contemporaneamente in tal forma che R ed R v non contengano die 

 indici <. 2r x e T e T\ non contengano che indici > 2r x . Sia dunque 



n—ìri n — 



Xf = R-\- ^_a Wi Xif=Ri+J_b ; il gruppo trasformerà 



i 1 1 



in sè quegli S n -i 2a 2 r i+ i Xir^+i = c dove c è una costante arbitraria e gli 

 a 2r +i soddisfano le equazioni 2a 2r +t «2^+i = 0 2b 2ri +, = 0 . Affinchè 

 tali S„_! non esistano, e quindi il luogo dei punti in cui un punto dato è 

 portato dalle operazioni del gruppo Xf , X x f non appartenga ad uno spazio 

 lineare subordinato, sarà necessario che le due ultime equazioni scritte non 

 ammettano soluzione. Perciò deve essere 2r x <. n — 2 : se n è pari sarà 

 quindi 2r x = n — 2 o 2r x = n\ se n è dispari non potrà essere che 

 2r x = n — 1 . Possiamo quindi enunciare : Se una superficie immersa in 

 uno spazio ad un numero dispari di dimensioni (e non in uno spazio 

 lineare subordinato), ammette un G 2 di movimenti dello spazio ambiente, 

 per ogni suo punto passa un'elica immersa in uno spazio al più ad n — 1 

 dimensioni contenuta totalmente in essa, poiché tale è l'elica traiettoria di 

 quella operazione infinitesima del gruppo che non contiene traslazione. Ana- 

 logamente si mostra che le superficie immerse in uno spazio ad un nu- 



